答案：B利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理． 题型二 利用基本不等式求最值[教材P４５例２] 例２ 已知x，y都是正数，求证：
（１）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２错误!； （２）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值错误!S２. 【证明】 因为x，y都是正数，所以错误!≥错误!. （１）当积xy等于定值P时，错误!≥错误!， 所以x＋y≥２错误!，
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值２错误!. （２）当和x＋y等于定值S时，错误!≤错误!， 所以xy≤错误!S２，
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值错误!S２. 积是定值，和有最小值． 和是定值，积有最大值． 教材反思
１．利用基本不等式求最值的策略
２．通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．
跟踪训练２ （１）已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则 （１＋x）（１＋y）的最大值为（ ）
Ａ．１6 Ｂ．２５ Ｃ．9 Ｄ．３6
（２）若正实数x，y满足x＋２y＋２xy—8＝0，则x＋２y的最小值（ ） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．错误! Ｄ．错误!
解析：（１）因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以（１＋x）（１＋y）＝１＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋错误!２＝9＋４２＝２５， 因此当且仅当x＝y＝４时， （１＋x）·（１＋y）取最大值２５．
（２）因为正实数x，y满足x＋２y＋２xy—8＝0， 所以x＋２y＋错误!２—8≥0． 设x＋２y＝t>0， 所以t＋错误!t２—8≥0， 所以t２＋４t—３２≥0， 即（t＋8）（t—４）≥0， 所以t≥４，
故x＋２y的最小值为４． 答案：（１）B （２）B 错误!
１．展开（１＋x）（１＋y）⇒将x＋y＝8代入⇒用基本不等式求最值．
２．利用基本不等式得x＋２y＋错误!２—8≥0⇒设x＋２y＝t>0，解不等式求出x＋２y的最小值．
易错点 利用基本不等式求最值
例 若正数x，y满足x＋３y＝５xy，则３x＋４y的最小值是（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．５ Ｄ．6
【错解】 由x＋３y＝５xy⇒５xy≥２错误!，
因为x>0，y>0，所以２５x２y２≥１２xy，即xy≥错误!. 所以３x＋４y≥２错误!≥２错误!＝错误!， 当且仅当３x＝４y时取等号， 故３x＋４y的最小值是错误!.
错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．
【正解】 由x＋３y＝５xy可得错误!＋错误!＝１，所以３x＋４y＝（３x＋４y）错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋２错误!＝错误!＋错误!＝５，
当且仅当x＝１，y＝错误!时取等号， 故３x＋４y的最小值是５． 答案：C
课时作业 8
一、选择题
１．给出下列条件：１ab>0；２ab<0；３a>0，b>0；４a<0，b<0，其中能使错误!＋错误!≥２成立的条件有（ ）
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
解析：当错误!，错误!均为正数时，错误!＋错误!≥２，故只须a、b同号即可，∴１３４均可以．
答案：C
２．已知t>0，则y＝错误!的最小值为（ ） Ａ．—１ Ｂ．—２ Ｃ．２ Ｄ．—５
解析：依题意得y＝t＋错误!—４≥２错误!—４＝—２，等号成立时t＝１，即函数y＝错误!（t>0）的最小值是—２．
答案：B
３．若a≥0，b≥0，且a＋b＝２，则（ ） Ａ．ab≤错误! Ｂ．ab≥错误! Ｃ．a２＋b２≥２ Ｄ．a２＋b２≤３ 解析：∵a２＋b２≥２ab，
∴（a２＋b２）＋（a２＋b２）≥（a２＋b２）＋２ab， 即２（a２＋b２）≥（a＋b）２＝４， ∴a２＋b２≥２． 答案：C
４．若a，b都是正数，则错误!错误!的最小值为（ ） Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ．１0
解析：因为a，b都是正数，所以错误!错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!＝9，当且仅当b＝２a>0时取等号．
答案：C 二、填空题
５．不等式a２＋１≥２a中等号成立的条件是________．
解析：当a２＋１＝２a，即（a—１）２＝0时“＝”成立，此时a＝１． 答案：a＝１
6．设a＋b＝M（a>0，b>0），M为常数，且ab的最大值为２，则M等于________． 解析：因为a＋b＝M（a>0，b>0）， 由基本不等式可得，ab≤错误!２＝错误!， 因为ab的最大值为２，
所以错误!＝２，M>0，所以M＝２错误!. 答案：２错误!
7．已知x>0，y>0，且错误!＋错误!＝１，则３x＋４y的最小值是________． 解析：因为x>0，y>0，错误!＋错误!＝１，
所以３x＋４y＝（３x＋４y）错误!＝１３＋错误!＋错误!≥１３＋３×２错误!＝２５（当且仅当x＝２y＝５时取等号），
所以（３x＋４y）min＝２５． 答案：２５ 三、解答题
8．已知x<错误!，求f（x）＝４x—２＋错误!的最大值． 解析：因为x<错误!，所以４x—５<0,５—４x>0．
f（x）＝４x—５＋３＋错误!＝—错误!＋３
≤—２错误!＋３＝１．
当且仅当５—４x＝错误!时等号成立， 又５—４x>0，
所以５—４x＝１，x＝１． 所以f（x）max＝f（１）＝１．
9．已知函数f（x）＝４x＋错误!（x>0，a>0）在x＝３时取得最小值，求a的值． 解析：因为f（x）＝４x＋错误!≥２错误!＝４错误!， 当且仅当４x＝错误!，即４x２＝a时，f（x）取得最小值． 又因为x＝３，所以a＝４×３２＝３6． [尖子生题库]
１0．已知x∈错误!，求函数y＝错误!＋错误!的最小值．
解析：y＝错误!＋错误!＝错误!·（２x＋１—２x）＝１0＋２·错误!＋8·错误!， 而x∈错误!，２·错误!＋8·错误!≥２错误!＝8， 当且仅当２·错误!＝8·错误!，
即x＝错误!∈错误!时取到等号，则y≥１8， 所以函数y＝错误!＋错误!的最小值为１8．
