高中数学-指数函数和对数函数例题精讲
[ ]
解 A
例2 f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域
是 [ ]
A．(0，+∞) B．+∞)
C．(6，+∞) D．∞，+∞)
， (5(-解 B 因为f(x)=x2+5＞5，即f(x)的值域为(5，+∞)，故f-1(x)的定义域为(5，+∞)．
例3 下列函数中，值域是(0，+∞)的一个函数是 [ ]
解 B
例4 函数y=(a2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a的取值范围是 [ ]
例5 已知a＞b，ab≠0．审查下列不等式．
其中恒成立的
有 [ ]
A．1个 B．2个 个 D．4个
解 C
解 (0，1)
例7 使函数yx2-x-12递减的x的取值范围是______．
例8 根据不等式确定正数a的取值范围：
(1)a-0.3＜a0.2，则a∈______；
(2)a7.5＜a3.9，a∈______；
C．3
解 (1)(1，+∞) (2)(0，1) (3)(0，1)
(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；
(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0)，都有f(x)＞0．
所以f(x)是偶函数．
(2)当x＞0时，2x＞1，所以f(x)＞0．
当x＜0时，由f(x)为偶函数，有f(x)=f(-x)＞0．
所以对一切x∈R，x≠0，恒有f(x)＞0．
注 利用函数的奇偶性常可使解法简化．如本例(2)，当x＜0时，证明f(x)＞0较繁．若注意到f(x)为偶函数，则只须证明，当x＞0时f(x)＞0，而这是显然的．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)是区间(-∞，+∞)上的增函数；
(3)求函数的值域．
解 (1)f(x)的定义域为R．又
所以f(x)为奇函数．
在R上为增函数．
[ ]
A．a＜b＜
c C．b＜c＜
a 解 C
．a＜c＜b
．c＜b＜a
B D
[ ]
例14 对数式loga(x+1)，logax2，loga(-x)，loga(1-|x|)中的x的
[ ]
例15 如果f(lgx)=x，则f(3)的值等
于 [ ]
A．log3 B．log310 C．l03 D．310
解 C 令lgx=3，则x=103．
例16 若log2x=log3y=log5z＞0，
则 [ ]
解 B 令log2x=log3y=log5z=k，有x=2k，y=3k，z=5k．于是
例17 已知ab=M(a＞0，b＞0，M≠1)且logMb=x，则logMa的值为 [ ]
解 A 因为ab=M，所以logMab=logMM=1，即logMa+logMb=1．但logMb=x，所以logMa=1-x．
例18 计算：
(1)25log53=______
例20 设M={0，1}，N={11-a，log10a，2a，a}，是否存在
事实上，若lga=1，则a=10．此时11-a=1，从而11-a=lga=1，此与集合元素互异性矛盾．
若2a=1，则a=0．此时lga无意义．
1，则a=10，从而lga=1，与集合元素互异性矛盾．
例22 化简：
例23 设a，b同号，且a2-2ab-9b2=0，求
lg(a2+ab-6b2)-lg(a2+4ab+15b2)
的值．
[ ]
解 A
[ ]
A．R B．(-∞，-3]
C．[8，+∞) +∞)
解 B
例26 若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f(x)＞0，则f(x) [ ]
A．在(-∞，0)内单调递增
．[3， D
B．在(-∞，0)内单调递减
C．在(-∞，-1)内单调递减
D．在(-∞，-1)内单调递增
解 D 依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0＜a＜1．画出图象(略)即知D正确．
例27 已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x＜0时，f(x)的解析式
是 [ ]
A．-x2-lg(1-x) B．x2+lg(1-x)
C．x2-lg(1-x) D．-x2+lg(1-x)
解 A 设x＜0，则-x＞0，所以
f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)
f(x)=-x2-lg(1-x)
例28 函数y=5x+1的反函数
是 [ ]
A．y=log5(x+1) B．y=logx5+1
C．y=log5(x-1) D．y=log(x-1)5
解 C
解 (1)奇函数．
∴ f(x)为奇函数
(2)3.373 因为ψ(x)=x2+f(x)，又由(1)知，f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)．所以
ψ(-2)=(-2)2+f(-2)=2×22-(22+f(2))
=8-ψ(2)=8-4.627=3.373
例31 若1＜x＜2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是______．
log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)已知f(x)存在反函数f-1(x)，若f-1(x)＜0，求x的取值范围．
另一方面，有
所以f(x)是奇函数．
故当a＞1时，x＜0；当0＜a＜1时，x＞0．
例33 已知常数a，b满足a＞1＞b＞0，若f(x)=lg(ax-bx)，
(1)求y=f(x)的定义域；
(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，且f(2)=lg2，求a，b的值．
(2)任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2．
因为a＞1，所以g1(x)=ax是增函数，所以ax1-ax2＜0．
故f(x)=lg(ax-bx)在(0，+∞)内是增函数．
(3)因为f(x)在(1，+∞)内为增函数，所以对于x∈(1，+∞)内每一个x值，都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，即f(x)＞0只须f(1)=0．于是f(1)=lg(a-b)=0，得a-b=1．
又f(2)=lg2，所以lg(a2-b2)=lg2，所以a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2．而a-b=1，所以a+b=2．
例34 设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小．
解 作差比较．
因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，1＜1+x＜2，0＜1-x2＜1．
当a＞1时，|loga(1-x)|=-loga(1-x)，|loga(1+x)|=loga(1+x)．所以
|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)
=-loga(1-x2)＞0
即 |loga(1-x)|＞|loga(1+x)|
当0＜a＜1时，
|loga(1-x)|=loga(1-x)，|loga(1+x)|=-loga(1+x)
所以 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)
=loga(1-x2)＞0
即 |loga(1-x)|＞|loga(1+x)|
注 本例也可用作商比较法来解．
例35 设对所有实数x，不等式
恒成立，求a的取值范围．
解 根据题意，可知原不等式(关于x的二次不等式)应满足下列条件：
例36 设函数f(x)=log2[(3-2k)x2-2kx-k+1]，求使f(x)在(-∞，0)内单调递减，而在(1，+∞)内单调递增的所有实数k组成的集合M．
必须有g(x)＞0，3-2k＞0，且g(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于[0，1]．于是k确定于不等式组
例37 在函数y=logax(0＜a＜1，x≥1)的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是m，m+2，m+4．
(1)若△ABC面积为S，求S=f(m)；
(2)判断S=f(m)的增减性；
(3)求S=f(m)的最大值．
解 (1)由A，B，C三点分别向x轴作垂线，设垂足依次为A1，B1，C1，则
38
log34
·
log48
·
log8m=log416
，
则
m
为 [ ]
解 B 由已知有
[ ]
A．b＞a＞1
B．1＞a＞b＞0
C．a＞b＞1
D．1＞b＞a＞0
解 A 由已知不等式得
故选A．
[ ]
故选A．
[ ]
A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)
2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，
[ ]
A．m＞p＞n＞q
B．n＞p＞m＞q
C．m＞n＞p＞q
D．m＞q＞p＞n
例43 (1)若logac+logbc=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；
(2)log=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．
但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．
例44 函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．
由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．
例45 已知log1227=a，求log616的值．
例46 比较下列各组中两个式子的大小：
例47 已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足
3logxa+logax-logxy=3
(1)若x=at(t≠0)，试以a，t表示y；
(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．
解 (1)由换底公式，得
即 logay=(logax)2-3logax+3
当x=at时，logay=t2-3t+3，所以
y=ar2-3t+3
(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．
值，所以当t=3时，umax=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．
