【高考数学】对数与对数函数含知识点试题

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 命题角度 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化2016，全国卷Ⅰ，8,5分(对数函数的性质) 2016，浙江卷，12,6分(对数函数的运算) 2015，全国卷Ⅰ，13,5分(对数函数的性质) 2015，全国卷Ⅱ，5,5分(对数运算) 成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 较少直接考查(若考2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象查，则幂和对数的大通过的特殊点； 小比较是热点)，间接3.知道对数函数是一类重要的函数模型； x考查主要体现在导数应用中。 4.了解指数函数y＝a与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)。

微知识 小题练

自|主|排|查

1．对数的概念 (1)对数的定义

如果a＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

(2)几种常见对数 对数形式 一般对数 特点 底数为a(a＞0，且a≠1) 记法 logaN x 1

常用对数 自然对数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaN＝N；

②logaa＝N(a＞0，且a≠1)。 (2)对数的重要公式

N底数为10 底数为e lgN lnN logaN①换底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1)；

logab1

②logab＝，推广logab·logbc·lo＝logad。 logba(3)对数的运算法则

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM(n∈R)； ④logamM＝logaM。 3．对数函数的图象与性质

nnMNnm a＞1 0＜a＜1 图 象 (1)定义域：(0，＋∞) 性 质 (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 (4)当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 2

(5)是(0，＋∞)上的增函数 (5)是(0，＋∞)上的减函数 1(6)y＝logax的图象与y＝logx(a＞0且a≠1)的图象关于x轴对称 a 4．y＝a与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系

指数函数y＝a与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称。

微点提醒

1．换底公式的两个重要结论 1nn①logab＝；②logamb＝logab。

logbam其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R。 2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

xx

故0由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(必修1P75A组T11改编)(log29)·(log34)＝( ) 1

A. 4C．2

1

B. 2D．4

lg9lg42lg32lg2

【解析】 (log29)·(log34)＝×＝×＝4。故选D。

lg2lg3lg2lg3【答案】 D

2．(必修1P74A组T4改编)若lg2＝a，lg3＝b，则lg12的值为( ) A．a C．2a＋b

3

B．b D．2ab

【解析】 因为lg2＝a，lg3＝b，所以lg12＝lg(4×3)＝2lg2＋lg3＝2a＋b。故选C。 【答案】 C 二、双基查验 1．计算：

(1)log35－log315＝________。

(2)log23·log34·log45·log52＝________。 (3)2log25＝________。 【答案】 (1)－1 (2)1 (3)5 2．函数y＝

1log

3

x＋的定义域为________。

4【答案】 －，－1 3

3．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是________。 【答案】 (1,0)

4．已知a>0，且a≠1，函数y＝a与y＝loga(－x)的图象可能是________(填序号)。

x

【答案】 ②

11

5．(2017·大连模拟)不等式log(2x＋1)>log(3－x)的解集为________。

22

2x＋1>0，

【解析】 由题意3－x>0，

2x＋1<3－x

⇒x<3，

2x<3，

x>－，1

2

12⇒－23

12

【答案】 x－32



 

微考点 大课堂

4

考点一 对数的运算 11ab【典例1】 (1)设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( )

abA.10 C．20

(2)计算(lg2)＋lg2·lg50＋lg25的结果为__________。

2

B．10 D．100

3x(3)若lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，则log的值为__________。

2y【解析】 (1)由2＝5＝m得a＝log2m，b＝log5m， 11

∴＋＝logm2＋logm5＝logm10。

ababab2

11

∵＋＝2，∴logm10＝2。 ∴m＝10，∴m＝10。故选A。

(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋lg25＝lg4＋lg25＝2。 (3)依题意，可得lg(xy)＝lg(2x－3y)， 即xy＝4x－12xy＋9y， 整理得：4－13＋9＝0，

2

2

2

x2yxy

xx9解得＝1或＝。

yy4

x93x∵x>0，y>0,2x－3y>0，∴＝，∴log＝2。

y42y【答案】 (1)A (2)2 (3)2 反思归纳 对数运算的一般思路

1．首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并。

2．将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算。

【变式训练】 (1)(2016·大连模拟)计算：2

2

1

－4log25＋4＋log2＝________。

5

11

(2)若正数a，b满足3＋log2a＝2＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为________。

ab【解析】 (1)原式＝|log25－2|＋log25＝log25－2－log25＝－2。 (2)根据题意设3＋log2a＝2＋log3b

－1

5

＝log6(a＋b)＝k， 所以有a＝21

k－3

，b＝3

kk－2

，a＋b＝6，

kkk1a＋b62·332＋＝＝k－3k－2＝k－3k－2＝2×3＝72。 abab2·32·3【答案】 (1)－2 (2)72 考点二 对数函数的图象及应用……母题发散 【典例2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )

1x(2)当02A.0，

2 2

B.

2

，1 2

C．(1，2) D．(2，2)

【解析】 (1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D。故选C。

(2)构造函数f(x)＝4和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当012111个函数在0，上的图象，可知，f，22222所以a的取值范围为

x2

，1。故选B。 2

2

【答案】 (1)C (2)B

【母题变式】 若本典例(2)变为：若不等式x－logax<0对x∈

0，1恒成立，求实数a的取值范围。

2

【解析】 由x－logax<0得x2

2

2

12

要使x∈0，时，不等式x2

12

只需f1(x)＝x在0，上的图象在f2(x)＝logax图象的下方

2

6

即可。当a>1时，显然不成立；

当012

要使x211需f1≤f2， 22

11112

所以有≤loga，解得a≥，所以≤a<1。

216162

1即实数a的取值范围是，1。

16

【答案】 

1，1

16

反思归纳 应用对数型函数的图象可求解的问题

1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想。

2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。 【拓展变式】 已知函数f(x)＝|log2x|，02

n]上的最大值为2，则m2＝( )

1A. 43C. 2

B.2 1D. 2

【解析】 作出函数f(x)＝|log2x|的图象如图。由题意可得0log2m＝2，m＝2＝。故选A。

4

【答案】 A

2

2

2

考点三 角度一：比较大小 对数函数的性质及应用……探究 【典例3】 (1)(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0ccB．abcc(2)(2016·安庆二模)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)

7

10.3

为减函数，若a＝f(2)，b＝f(log4)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是( )

2

A．a>b>c C．c>a>b

【解析】 (1)解法一：由a>b>1,0b，A错； ∵0c－1

ccB．c>b>a D．a>c>b

在x∈(0，＋∞)上是减函数，

c－1

>ac－1

，又ab>0，∴ab·bc－1

>ab·a，即ab>ba，B错；

cc易知y＝logcx是减函数，∴0>logcb>logca， ∴logbc由logbc－logac>0，又a>b>1>0，∴－alogbc>－blogac>0，∴

alogbc1

解法二：依题意，不妨取a＝10，b＝2，c＝。

2易验证A、B、D均是错误的，只有C正确。 (2)函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数。 当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数， ∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，

10.3

∵b＝f(log4)＝f(－2)＝f(2)，1<2<22∴c>b>a，故选B。 【答案】 (1)C (2)B 角度二：对数不等式的有关问题

【典例4】 (1)(2016·浙江高考)已知a，b>0，且a≠1，b≠1。若logab>1，则( ) A．(a－1)(b－1)<0 C．(b－1)(b－a)<0

B．(a－1)(a－b)>0 D．(b－1)(b－a)>0

1281

(2)设函数f(x)＝log(x＋1)＋2，则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2的解集为

23x＋12( )

A．(0,2] C．[2，＋∞)

1B.，2

2

1D.0，∪[2，＋∞) 2

ba【解析】 (1)根据题意，logab>1⇔logab－logaa>0⇔loga>0⇔

8

0a>1

或b>1a0，即

0a>1

或b>a

0。当

0时，

0a>1

当b>a

时，b>a>1，∴b－1>0，b－a>0。

∴(b－1)(b－a)>0。故选D。

128

(2)∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝log(x＋1)＋2＝f(x)，∴f(x)为R上的偶函数。

23x＋1易知其在区间[0，＋∞)上单调递减。 1

令t＝log2x，所以logx＝－t，

2

1

则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，

2即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，

18

又∵f(1)＝log2＋＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R上为偶函数，

23＋1∴－1≤t≤1，即log2x∈[－1,1]，

1∴x∈，2。故选B。 2

【答案】 (1)D (2)B 角度三：对数性质的综合应用

x2＋1

【典例5】 关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列结论：

|x|

①其图象关于y轴对称；

②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg2；

④f(x)在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数。 其中所有正确结论的序号是________。

－x＋1x＋1

【解析】 因为函数f(－x)＝lg＝lg＝f(x)，所以函数为偶函数，即图

|－x||x|1

象关于y轴对称，故①正确。因函数y＝x＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

2

2

x1

所以函数y＝|x|＋在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，

|x|从而函数f(x)在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－1)和(0,1)上是减函

9

x2＋11

数，故②错，④正确。③因为＝|x|＋≥2 |x||x|

小值为lg2，故③正确。

【答案】 ①③④

1

|x|·＝2，所以f(x)≥lg2，即最

|x|

反思归纳 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解。在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的条件。

微考场 新提升

11．(2017·咸宁模拟)已知函数f(x)＝sinx＋1，则f(lg2)＋flg＝( )

2

A．－1 C．1

B．0 D．2

1解析 解法一：f(lg2)＋flg 2

＝sin(lg2)＋1＋sin(－lg2)＋1 ＝sin(lg2)－sin(lg2)＋2＝2。故选D。 解法二：令h(x)＝f(x)－1＝sinx， ∴h(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－h(x)， ∴h(x)是奇函数，

1∴h(lg2)＋hlg 2

＝h(lg2)＋h(－lg2)＝0，

1∴f(lg2)＋flg－2＝0， 21即f(lg2)＋flg＝2。故选D。 2

答案 D

2．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则a，b，c的大小关系为( ) A．a＜c＜b C．a＜b＜c

B．b＜a＜c D．b＜c＜a

解析 因为y＝log5x在定义域内是单调递增函数，所以b＜a。又log54＜1＜log45，所以

a＜c，即b＜a＜c。故选B。

答案 B

3．已知定义在R上的函数f(x)＝2

|x－m|

－1(m为实数)为偶函数。记a＝f(log0.53)，b＝

10

f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )

A．a＜b＜c C．a＜c＜b 解析 由f(x)＝2

x|x－m|

|x|

B．c＜a＜b D．c＜b＜a

－1是偶函数得m＝0，则f(x)＝2－1。当x∈[0，＋∞)时，f(x)

＝2－1递增，又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0＜log23＜log25，则

f(0)＜f(log23)＜f(log25)，即c＜a＜b。故选B。

答案 B

4．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________。

解析 作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)。由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)。

答案 (－∞，－1) (－1，＋∞)

5．已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为__________时，log2a·log2(2b)取得最大值。 88

解析 由于a>0，b>0，ab＝8，所以a＝，所以log2a·log2(2b)＝log2·log2(2b)＝(3

bb－log2b)·(1＋log2b)＝－(log2b)＋2log2b＋3＝－(log2b－1)＋4，当b＝2时，有最大值4，此时a＝4。

答案 4

22

11

微专题 巧突破 幂、指数、对数比较大小的几种技巧 幂、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图”。解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小。下面以函数类型来划分几种题型，有助于提高解题能力。

一、直接考查单一函数

【典例1】 已知0【解析】 由logamn>1。故选A。 【答案】 A

【变式训练1】 已知实数a，b满足不等式log2aB．0【解析】 如图y＝g(x)表示以2为底的对数函数图象，y＝f(x)表示以3为底的对数函数图象，根据log2a【答案】 D

二、以两种函数为背景

111

【典例2】 设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则( )

334A．y3B．y11x【解析】 构造函数y＝0.5和y＝x，利用两个函数的单调性进行比较即可。因为y＝

3

12

111x0.5为减函数，而>，所以y2343

y1【答案】 B

【变式训练2】 设a＝logπ2，b＝4，c＝ln2，则a，b，c的大小关系为( ) A．aB．a0.3

【解析】 首先确定范围，由对数、指数函数的性质可知，01,0然后，比较a与c的大小，由a＝logπ2，c＝ln2，则logπ2÷ln2＝2logπ2÷ln2＝

2logπ4÷ln2，而logπ4>1,0c。故选C。

【答案】 C

三、以三种函数为背景

11b11ca【典例3】 设a，b，c均为正数，且2＝loga，＝logb，＝log2c，则( )

2222A．aB．c1x【解析】 解法一：首先确定a是函数y＝2与y＝logx图象的交点的横坐标，b是函数

2

y＝x与y＝logx图象的交点的横坐标，c是函数y＝x与y＝log2x图象的交点的横坐标。

22

11xx分别画出函数y＝2，y＝，y＝logx，y＝log2x的图象(图象略)，易知a22

解法二：根据函数性质确定各个数的大致范围。

11111ba∵a，b，c均为正数，∴2>1，即loga>1，解得022222

1

12

1

1c0<<1，即0解法一用图象形象直观，解法二能很好地帮助学生理解和掌握函数性质。 【答案】 A

ln2ln3ln5

【变式训练3】 已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________。(从

235大到小排列)

【解析】 解法一：直接作差法

a－b＝

ln2ln33ln2－2ln3ln8－ln9

－＝＝<0。 2366

13

ln3ln55ln3－3ln5

同理b－c＝－＝>0，

3515

a－c＝

ln2ln55ln2－2ln5－＝>0， 2510

所以b>a>c。 解法二：数形结合法

ln2ln2－0

变形a＝＝，则a表示函数y＝lnx图象上的点(2，ln2)与点(0,0)连线的斜率。

22－0ln3ln3－0ln5ln5－0

同理，b＝＝，c＝＝分别表示点(3，ln3)，点(5，ln5)与点(0,0)的连线

33－055－0斜率。作出函数y＝lnx的图象，标出相应点的位置，观察可知b>a>c。

解法三：构造函数法

lnx1－lnx1－lnx令y＝，y′＝，令y′＝＝0，得x＝e，所以函数在x∈(0，e)上单调递22

xxx增，在x∈(e，＋∞)上单调递减，函数在x＝e处取得极大值，再作差比较a与c的大小，易知b>a>c。

【答案】 b>a>c

14