新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.1基本不等式课时作业(含解析)新人教A版必修第一册

不等式课时作业（含解析）新人教A版必修第一册

2.2.1 基本不等式

一、选择题

1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以． 答案：C

baabbaabbaabt2－4t＋1

2．已知t>0，则y＝的最小值为( )

tA．－1 B．－2 C．2 D．－5

1

解析：依题意得y＝t＋－4≥2

tt·－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝t1

t2－4t＋1

(t>0)的最小值是－2. t答案：B

3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( ) 11

A．ab≤ B．ab≥ 22C．a＋b≥2 D．a＋b≤3 解析：∵a＋b≥2ab，

∴(a＋b)＋(a＋b)≥(a＋b)＋2ab， 即2(a＋b)≥(a＋b)＝4， ∴a＋b≥2. 答案：C

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b4a4．若a，b都是正数，则1＋1＋的最小值为( )

ab





A．7 B．8

C．9 D．10

b4ab4a解析：因为a，b都是正数，所以1＋1＋＝5＋＋≥5＋2

ab

abb4a·＝9，当且ab仅当b＝2a>0时取等号．

答案：C 二、填空题

5．不等式a＋1≥2a中等号成立的条件是________． 解析：当a＋1＝2a，即(a－1)＝0时“＝”成立，此时a＝1. 答案：a＝1

6．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________． 解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，

2

2

2

a＋b2＝M，

由基本不等式可得，ab≤24

因为ab的最大值为2， 所以＝2，M>0，所以M＝22.

4答案：22

13

7．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．

2

M2

yx13

解析：因为x>0，y>0，＋＝1，

yx133x12y所以3x＋4y＝(3x＋4y)＋＝13＋＋≥13＋3×2yxyx2y＝5时取等号)，

所以(3x＋4y)min＝25. 答案：25 三、解答题

51

8．已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值．

44x－55

解析：因为x<，所以4x－5<0,5－4x>0.

4

x4y·＝25(当且仅当x＝yxf(x)＝4x－5＋3＋

≤－211＝－5－4x＋＋3 5－4x4x－5

1

5－4x·＋3＝1.

5－4x1

当且仅当5－4x＝时等号成立，

5－4x又5－4x>0， 所以5－4x＝1，x＝1. 所以f(x)max＝f(1)＝1.

9．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解析：因为f(x)＝4x＋≥2axax4x·＝4a，

ax当且仅当4x＝，即4x＝a时，f(x)取得最小值． 又因为x＝3，所以a＝4×3＝36.

2

ax2

[尖子生题库]

18110．已知x∈0，，求函数y＝＋的最小值． x1－2x2

8281－2x2x2

解析：y＝＋＝＋·(2x＋1－2x)＝10＋2·＋8·， 2x1－2x2x1－2x2x1－2x1－2x2x1而x∈0，，2·＋8·≥216＝8，

2x1－2x21－2x2x当且仅当2·＝8·，

2x1－2x11即x＝∈0，时取到等号，则y≥18，

6218

所以函数y＝＋的最小值为18.

x1－2x