高三数学专题复习-指数、对数函数

高三数学专题复习-指数、对数函数

高三数学专题复习-指数函数、对数函数问题

指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.

●难点磁场

1(★★★★★)设f(x)=log21x,F(x)=2+f(x). x1x(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；

(2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的

－1

自然数n(n≥3),都有f(n)>nn; 1(3)若F(x)的反函数F(x),证明：方程F

1

－1

－

(x)=0有惟一解.

●案例探究

［例1］已知过原点O的一条直线与函数

y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.

(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对

数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.

知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.

(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.

错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.

技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.

(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以

log8x1log8x2x1x2,点C、D坐标分别为由

于

(x1,log2x1),(x2,log2x2),

xlog2x1=log=3loglog28188x1,log2x2log8x2log823log8x2,所以OC的斜

率：k1=logxx2213log8x1x1,

22OD的斜率：k2=logxx23log8x2x2，由此可知：k1=k2,

即O、C、D在同一条直线上.

(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=1log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：3x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=3,则点A的坐标为(3，log83).

［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n

ax

点Pn位于函数y=2000(10)(0(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式； (2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由.

命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级 题目.

知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.

错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.

技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.

解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000().

12a10n12ax

(2)∵函数y=2000(10)(0个自然数n,有bn>bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,a2a即(10)+(10)－1>0,解得a<－5(1+2)或a>5(5－1).∴5(5－1)(3)∵5(5－1)∴bn=2000().数列{bn}是一个递减的正数

710n12数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是当bn≥1时，Bn710n12●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法有： (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.

(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.

(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( )

A.g(x)=x,h(x)=lg(10+10+2)

xx1B.g(x)=1［lg(10+1)+x］,h(x)= ［lg(10+1)22－x］

xxC.g(x)=2,h(x)=lg(10x+1)－2

xxD.g(x)=－2,h(x)=lg(10x+1)+2

x－x

2.(★★★★)当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )

二、填空题

3.(★★★★★)已知函数f(x)=则f-－1(x－1)=_________. 4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y= ae

－nt

2x (x0)log2(x) (2x0).

,那么桶2中水就是y2=a－ae

－nt

,假设过5分

钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有a. 8三、解答题

5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.

(1)写出函数y=g(x)的解析式；

(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.

6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠

1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断［f(x1)+f(x2)］与f(x112x22)的大小，并加以证明.

7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.

8.(★★★★)设不等式2(logx)2+9(logx)+9

1212≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2x)(log2x)的最大、最小值.

28参

难点磁场

x解：(1)由1>0,且2－x≠0得F(x)的定义域1x为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则

F(x2)－F(x1)=(21x212x1)+(log1x21x1log221x21x1)

x2x1(1x1)(1x2)log2(2x1)(2x2)(1x1)(1x2),

∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.

因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.

(2)证明：由y=f(x)=∴f(x)=

－1

1xlog21x得：2=

y1x2y1,xy1x21,

2x12x1,∵f(x)的值域为R，∴f

-－1

(x)的

定义域为R.

当f(n)>

-1

n≥3时.

，

n2n1n21n1n12n2n1n1n121n121用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.

－11－11(3)证明：∵F(0)=2,∴F(2)=0,∴x=2是F(x)=0的一个根.假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0

-11≠1),则F(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠).这是不可221

能的，故F-1(x)=0有惟一解.

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①

又g(－x)+h(－x)=lg(10

－x

+1).即－

g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ②

xx由①②得：g(x)=2,h(x)=lg(10x+1)－2.

答案：C

2.解析：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数.

答案：B

logx (x1)二、3.解析：容易求得f- －1(x)=,从2 (x1)2x而：

log(x1),(x2)f(x－1)= 2, (x2).2－1

x1答案：

log2(x1),(x2)x12, (x2)

－nt

4.解析：由题意，5分钟后，y1=ae,y2=a－－nt

ae,y1=y2.∴n=1ln2.设再过t分钟桶1中的水只5有,则y1=ae

a8－n(5+t)

=a,解得t=10. 8答案：10

三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.

∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga

1g(x)=logax. a1x2a,∴

(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－

112a+2>0;x=>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,(a3)aa21∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－logax|=|loga(x－a4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］

min=

μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求

不等式组

0a1loga(96a)1log(44a)1a的解.

由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤91257,由

4loga(4－4a)≤1解得0＜a≤5,

∴所求a的取值范围是0＜a≤91257. 6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,

2x∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(x)(当且仅当212x1=x2时取“=”号)，

当a>1时，有logax1x2≤loga(xx∴1logax1x2≤loga(211x22

2),

x22)，1(logax1+logax2)≤2)(当且仅当x1=x2时

1logax1即f(x1)+f(x2)］≤f(xx221[2,

1x22取“=”号)

当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga(x∴号）.

12x222),

12(logax1+logax2)≥loga

1x1x22,即

［f(x1)+f(x2)］≥f(xx22)(当且仅当x1=x2时取“=”

7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直

线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.

(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k≤2(1+2);

(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－2)≤k≤1－3.x综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－3，最小值为2－22.

8.解：∵2(logx)2+9(logx)+9≤0

1212∴(2logx+3)( logx+3)≤0.

1212∴－3≤logx≤－3. 212即log ()≤logx≤log()

1212121－321232

－3

2≤x≤8 ∴()≤x≤(1),∴221232即M={x|x∈［22,8］}

又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.

∵22≤x≤8,∴3≤log2x≤3 2∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0.