交集与并集练习题及答案

[ ]

A．{0，1}

B．{(0，1)}

C．{1}

D．以上均不对

分析 先考虑相关函数的值域． 解 ∵M＝{y|y≥1}，N＝{y|y≤1}， ∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C．

例2 已知集合A＝{x|x2＋mx＋1＝0}，如果A∩R＝，则实数m的

取值范围是 A．m＜4

B．m＞4

C．0＜m＜4

＜4

[ ]

D．0≤m

分析 ∵A∩R＝，∴A＝．所以x＋Mx＋1＝0无实数根，由m≥0， 2Δ＝(m)－4＜0，2

可得0≤m＜4． 答 选D．

例3 设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝ A．{x|－5≤x＜1} C．{x|x＜1}

≤2}

分析 画数轴表示

[ ]

B．{x|－5≤x≤2} D．{x|x

B，也可以得到A∪B＝

得A∪B＝{x|x≤2}，A∪B＝B．(注意A≠B)．

答 选D．

说明：集合运算借助数轴是常用技巧．

例4 集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 分析 A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合．

x＋y＝0，x＝1， 解 由 得 x－y＝2y＝－1．所以A∩B＝{(1，－1)}．

说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么．

例5 下列四个推理：①a∈(A∪B)a∈A；②a∈(A∩B)a∈(A

∪B)；

③ABA∪B＝B；④A∪B＝AA∩B＝B，其中正确的个数

为

A．1

B．2

C．3

D．4

分析 根据交集、并集的定义，①是错误的推理． 答 选C．

例6 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x

＝________．

[ ]

号的值．

解 观察数轴得，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∩B∩(例7 设A＝{x∈R|f(x)＝0}，

B＝{x∈R|g(x)＝0}，

UP)＝{x|0＜x＜2}．

C＝{x∈R|f(x)＝0}，全集U＝R，那么 g(x)[ ]

A．C＝A∪(C．C＝A∪B

(

UA)∩B

UR)

B．C＝A∩(

UB)

D．C＝

分析 依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归

f(x)C＝{x∈R|＝0}

g(x)＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0}

＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0}＝A∩(

UB)．

答 选B．

说明：本题把分式的意义与集合相结合．

例8 集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．

分析 一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．

另一种方法，画图1－10观察可得．

答 填15．

例9 已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(

UB)＝{5，13，23}，(

UA)∩B＝{11，19，29}，(

UA)∩(

UB)＝{3，7}求

A，B．

分析 由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．

解 ∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29} 用图形表示出A∩(

UB)，(

UA)∩B

及(

UA)∩(UB)得

U(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，所以

A＝{2，5，13，17，23}， B＝{2，11，17，19，29}．

说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．

例10 设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B．

分析 欲求A∪B，需根据A∩B＝{9}列出关于x的方程，求出x，从而确定

A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，再将所得值代入检验．

解 由9∈A可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或5．

当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违反互异性，故x＝3应舍去；

当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，此时A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}

当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾．

故x＝5应舍去．

从而可得x＝－3，且A∪B＝{－8，－4，4，－7，9}．

说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的． 例11 设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．

分析 由A∩B＝B，BA，而A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，所以

需要对A的子集进行分类讨论．

解 假如B≠，则B含有A的元素．

设0∈B，则a2－1＝0，a＝±1，当a＝－1时，B＝{0}符合题意；当a＝1时，B＝{0，－4}也符合题意．

设－4∈B，则a＝1或a＝7，当a＝7时，B＝{－4，－12}不符合题意．

假如B＝，则x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数根，此时Δ＜0得a

＜－1．

综上所述，a的取值范围是a≤－1或a＝1．

说明：B＝这种情形容易被忽视．

例12 (1998年全国高考题)设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x

－k≤0}，若M∩N≠，则k的取值范围是

A．(－∞，2]

＋∞)

C．(－1，＋∞) D．[－1，2] 分析 分别将集合M、N用数轴表示，可知：k≥－1时，M∩

[ ]

B．[－1，

N≠．

答 选B．

例13(2000年全国高考题)如图1－12：U为全集，M、P、S是U的3个子集，则下图中的阴影部分为________．

分析 利用交集、并集、补集的意义分析． 解 阴影部分为：(M∩P)∩(

US)．

说明：你能否指出M∩(P∪S)是图形上的哪一区域？