实数系完备性的证明

实数系完备性的证明

作者：程昆 高佳乐

来源：《科教导刊·电子版》2013年第20期

摘 要 本文利用实数的无限小数表示形式，结合实数系的序理论知识，用确界存在公理证明实数系的完备性。

关键词 实数系 序理论 归纳法 确界公理 完备性

中图分类号：O141.2 文献标识码：A

实数理论的建立，给数学分析注入了严密性。实数理论是数学分析的理论基础，而实数完备性定理又是实数理论中的重要内容之一。数学分析中介绍了有关实数完备性的六个基本命题，即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则。在实数系中这六个命题相互等价，从其中任意一个命题出发都可以推出其余五个命题。实数集的序是字典序，确界原理是以实数集按照大小关系是一个全序集为基础的，用实数的无限小数表示形式来证明实数系的完备性。

先给出证明过程需要用到的一些符号说明：R表示实数集，Z表示整数集，N表示自然数集，表示任意的，表示存在一个。

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定义1：实数的无限小数表示：任意一个实数x可表示成：

证毕

参考文献

[1] 王美丽，李磊.实数完备性的六个等价命题的推广[J].南阳师范学院学报，2009，8（12）.

[2] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3] 张诸生编著.数学分析新讲[M].北京：北京大学出版社，1993.