精选高中模拟试卷
政和县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 满足集合M⊆{1，2，3，4}，且M∩{1，2，4}={1，4}的集合M的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
mn2
2． 设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为﹣16，则含x项的系数是（ ） A．﹣13 B．6 C．79 D．37
3． 从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ） A．120个
B．480个
C．720个
D．840个
4． 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）
A． B．8 D．
5． 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红、黑球各一个 查结果如下表所示． 旧设备 新设备
杂质高 37 22
杂质低 121 202
C．
6． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调
根据以上数据，则（ ） A．含杂质的高低与设备改造有关 B．含杂质的高低与设备改造无关 C．设备是否改造决定含杂质的高低
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D．以上答案都不对 方法是（ ） A．抽签法 （ ）
B．随机数表法
C．系统抽样法
D．分层抽样法
7． 某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样
8． 一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为
（A） 8
（ B ） 4 （C） （D）
8 34 3*
（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ ）
9． 已知an=
A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30
2
10．≈0.01性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K≥6.635）表示的意义是（ ）
A．变量X与变量Y有关系的概率为1% C．变量X与变量Y有关系的概率为99%
B．变量X与变量Y没有关系的概率为99% D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%
11．计算log25log53log32的值为（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8
12．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ） A．1372 B．2024 C．3136 D．4495
二、填空题
13．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．
14．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
15．已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：
﹣=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O
﹣
= ．
外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则
16．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
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17．若tanθ+
18．已知函数
=4，则sin2θ= ．
为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
三、解答题
19．已知函数
和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）． （1）试求f（x）的解析式；
的图象在y轴右侧的第一个最大值点
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．
20．已知等差数列{an}中，其前n项和Sn=n2+c（其中c为常数）， （1）求{an}的通项公式；
（2）设b1=1，{an+bn}是公比为a2等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．已知函数
．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．
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22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的（1）求证：CD＝DA；
（2）若CE＝1，AB＝2，求DE的长．
23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=为AD的中点，且CD⊥A1O （Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为由．
？若存在，求出BP的长；不存在，说明理
．若O
切线与AC交于D.
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24．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）． （1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
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政和县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵M∩{1，2，4}={1，4}， ∴1，4是M中的元素，2不是M中的元素． ∵M⊆{1，2，3，4}， ∴M={1，4}或M={1，3，4}． 故选：B．
2． 【答案】 D
【解析】
（﹣2）+
（﹣5）=﹣16，
二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．
【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整
2
数，可得m=3、n=2，从而求得含x项的系数．
mn
【解答】解：由于多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为
可得2m+5n=16 ①．
再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2， 故含x项的系数是
2
2
（﹣2）+
2
（﹣5）=37，
故选：D． 3． 【答案】B
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
3
【解析】解：要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C6种结果， 34
再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C6A4=480，
故选B．
4． 【答案】C
【解析】
【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值． 【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱
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垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，两个垂直底面的侧面面积相等为：8， 底面面积为：另一个侧面的面积为：
=4
，
=4
，
四个面中面积的最大值为4； 故选C．
5． 【答案】D
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有： 2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况， 所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥； 至少有一个白球，至少有一个红球不互斥； 至少有一个白球，没有白球互斥且对立； 故选：D
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件， 【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
6． 【答案】
A
【解析】
性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表 旧设备 新设备
杂质高 37 22
杂质低 121 202
合计 158 224
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合计
2
由公式κ=
59 323 382
≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的． 【点评】本题考查性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
7． 【答案】C
【解析】解：由题意知，这个抽样是在传送带上每隔10分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多， ∴是系统抽样法， 故选：C．
【点评】本题考查了系统抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．属于基础题．
8． 【答案】A
【解析】
1根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于2232238
39． 【答案】C 【解析】解：an=
图象如图， ∵9＜
＜10．
=1+
，该函数在（0，
）和（
，+∞）上都是递减的，
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9． 故选：C．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象， 是基础题．
10．【答案】C
2
【解析】解：∵概率P（K≥6.635）≈0.01， 即两个变量有关系的概率是99%，
∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，
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故选C． 基础题．
11．【答案】A
【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个
【解析】解：log25log53log32=故选：A．
=1．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
12．【答案】
C
【解析】
【专题】排列组合．
点在另一条边，根据分类计数原理可得． 上，有4种方法，
【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其
33
再在选出的三条边上各选一点，有7种方法．这类三角形共有4×7=1372个．
另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法， 4×21×21=17个． 故选：C．
再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有综上可知，可得不同三角形的个数为1372+17=3136．
【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．
【解析】解：设g（x）=g′（x）=
，
，则g（x）的导数为：
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，
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即当x＞0时，g′（x）＞0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）=
=
=
=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数， 又∵g（﹣2）=
=0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
14．【答案】 9 ．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9
15．【答案】 1 ．
【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外）， 均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD， 可通过特殊点，取A（﹣1，t），
则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t）， 由直线和圆相切的条件可得，t=1． 将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．
16．【答案】 12 ．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，
﹣
=1．
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由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3， 所以15﹣x=12， 即所求人数为12人， 故答案为：12．
17．【答案】
【解析】解：若tanθ+sin2θ=2sinθcosθ=故答案为．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
18．【答案】 2 ．
【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a﹣1=0， ∴a=1， ∵函数∴f（﹣x）=
xx
即b•2﹣1=﹣b+2，
．
=4，则
=
=
==，
为奇函数，
=﹣
，
∴b=1． 即a+b=2， 故答案为：2．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为12分） 解：（1）由题意知：A=2，…
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∵T=6π， ∴
=6π得
）的图
ω=，…
∴f（x）=2sin（x+φ）， ∵函数图象过（π，2）， ∴sin（∵﹣∴φ+
+φ）=1， ＜φ+=
＜
， … ， ）．…
，得φ=
∴A=2，ω=，φ=∴f（x）=2sin（x+
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+象，
）+
]=2sin（
﹣
然后再将新的图象向轴正方向平移图象．
个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣
﹣
）．…
）的
故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊 点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 分） 分）
（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣（8分）
因为等差数列{an}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4∴a1=1，d=2，an=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
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∴ ∴分）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12
【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=
．
≥0在[1，+∞）上恒成立．
要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需结合a＞0可知，只需a易知，此时
，x∈[1，+∞）即可．
=1，所以只需a≥1即可．
=0得
．
（2）结合（1），令f′（x）=
当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0； 当
时，
，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上递减，在
上f′（x）＞0，
所以此时f（x）在当
时，
上递增，所以f（x）min=f（）=1﹣lna﹣；
，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，
．
所以f（x）min=f（e）=
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．
22．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE，
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∵AB是⊙O的直径， AC，DE均为⊙O的切线， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∠DAE＝∠DEA＝∠B， ∴DA＝DE.
∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC， ∴DC＝DE， ∴CD＝DA.
（2）∵CA是⊙O的切线，AB是直径， ∴∠CAB＝90°，
由勾股定理得CA2＝CB2－AB2， 又CA2＝CE×CB，CE＝1，AB＝2， ∴1·CB＝CB2－2，
即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2， ∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝2. 12
由（1）知DE＝CA＝，
222
所以DE的长为.
223．【答案】
【解析】满分（13分）． （Ⅰ）证明：∵∠A1AD=∴A1O=∴
+AD2=AA12，
，且AA1=2，AO=1，
=
，…（2分）
∴A1O⊥AD．…（3分） 又A1O⊥CD，且CD∩AD=D， ∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，∵且
=
，
），…（6分）
=（x，y，z），
设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为
=（1，m+1，0），
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取z=1，得=．…（8分）
又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1 ∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD， ∴CD⊥平面A1ADD1． 不妨设平面A1ADD1的法向量为由题意得
=
=（1，0，0）．…（10分） =
，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为
．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．
24．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|
＝－x＋2a＋1，－1＜x＜a， 3x－2a＋1，x≥a，
2
2
2
2
－3x＋2a2－1，x≤－1，
当x≤－1时，f（x）≥f（－1）＝2a2＋2， －1＜x＜a2，f（a2）＜f（x）＜f（－1）， 即a2＋1＜f（x）＜2a2＋2， 当x≥a2，f（x）≥f（a2）＝a2＋1，
所以当x＝a2时，f（x）min＝a2＋1，由题意得a2＋1＝3，∴a＝±2. （2）当a＝±2时，由（1）知f（x）＝
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－3x＋3，x≤－1，
－x＋5，－1＜x＜2， 3x－3，x≥2，
由y＝f（x）与y＝m的图象知，当它们围成三角形时，m的范围为（3，6]，当m＝6时，围成的三角形面积
1
最大，此时面积为×|3－（－1）|×|6－3|＝6.
2
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