2010年北京海淀区高考一模文科数学

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （文科） 2010.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 在复平面内，复数i(1i)(i是虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. sin75cos30cos75sin30的值为（ ） A．1 B．

12 C．

22 D．

32

3. 已知向量a,b，则“a//b”是“a+b=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足

12S33S221，则数列{an}的公差是（ ）

A． B．1 C．2 D．3

x,ya,yxa的图象, 可能正确的是

x5．在同一坐标系中画出函数 ylog（ ）

yyayy111111OxOxO1xO1xABCD

6.一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）

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A.63 B．8 C．83 D．12 7.给出下列四个命题:

①若集合A,B满足ABA, 则AB；

②给定命题p,q, 若“pq”为真，则“pq”为真； ③设a,b,mR, 若ab,则am2bm；

2④若直线l1:axy10与直线l2:xy10垂直，则a1. 其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8.直线2axby1与圆xy1相交于A,B两点（其中a,b是实数），且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为（ ） A

21 B. 2 C.

2 D.

21

22 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若x0, 则yx4x的最小值是____________________.

10. 已知动点P到定点（2，0）的距离和它到定直线l:x2的距离相等，则点P的轨迹方程为_________.

yx11. 已知不等式组yx， 表示的平面区域的面积为4，点P(x,y)在所给平面区域

xa内，

则z2xy的最大值为______.

12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的同学为 _______人.

频率/组距 0.14 0.12 0.05 京翰教育 x1 对 1 家教http://www.zgjhjy.com/ 开始 a =2,i=1 i≥20 否 是 高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com

第12题

第13题图

13. 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________.

14. 若点集A{(x,y)|xy1},B{(x,y)|1x1,1y1}，则（1）点集

P(x,y)xx11,yy11,(x1,y1)A}所表示的区域的面积为_____；

22（2）点集M(x,y)xx1x2,yy1y2,(x1,y1)A,(x2,y2)B所表示的区域

的面积为___________ .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）

已知函数fxAsinx,xR(其中A0,0,其部分图象如图所示. (I)求fx的解析式; (II)求函数g(x)f(x4)f(x22),

)在区间0,上的 24最大值及相应的x值.

16. （本小题满分13分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可

20元10元0元京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/

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能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费了218元 ，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.

（I）若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？

（II）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？

17. （本小题满分14分）

如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC60,PA平面ABCD， 点M,N分别为BC,PA的中点，且PAAB2. (I) 证明：

BC⊥平面AMN；

P N A (II)求三棱锥NAMC的体积；

(III)在线段PD上是否存在一点E，使得NM//平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.

18. （本小题满分14分）

已知函数f(x)x1与函数g(x)alnx(a0).

（I）若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线，求实数a的值； （II）设F(x)f(x)2g(x)，求函数F(x)的极值.

19. （本小题满分13分）

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为该椭圆上.

（I）求椭圆C的方程；

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2 B M

C 12， 且点（1，

32）在

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（II）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点，若AOB的面积为

672，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.

20. （本小题满分13分）

12an,2已知数列an满足：a11，an12an1,22n为偶数,4, ， n2,3,n为奇数,（Ⅰ）求a3,a4,a5的值； （Ⅱ）设bna2n11，n1,2,3...，求证：数列bn是等比数列，并求出其通项公式；

*m（III）对任意的m2,mN，在数列{an}中是否存在连续的2项构成等差数列？若．．存在，写出这2项，并证明这2项构成等差数列；若不存在，说明理由.

mm京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/

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数 学（文）

参及评分标准 2010．4

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 第II券（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

9.4 10.y8x 11.6 12.30 13.

212 14.，12

15.（本小题满分13分） 解：（I）由图可知，A=1 „„„„1分 分

所以1 „„„„„3分 又f(4)sin(T42, 所以T2 „„„„„2

4)1 ，且22

所以分

4 „„„„„5

所以f(x)sin(x分

4). „„„„„6

（II）由（I）f(x)sin(x4)，

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所以g(x)f(x42)f(x4)=sin(x44)sin(x44)

sin(x)sinx „„„„„8分

cosxsinx „„„„„9

分

12sin2x „„„„„10

分

因为x[0,122]，所以2x[0,]，sin2x[0,1]

故：sin2x[0,12]，

当x4时，g(x)取得最大值

12. „„„„„ 13分

16. （本小题满分13分） 解：（I）设“甲获得优惠券”为事件A „„„„„ 1分

因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，

所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是

13. „„„„„ 3分

顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域， 根据互斥事件的概率，有P(A)131323 ， „„„„„ 6分

23所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是

.

（II）设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B „„„„„ 7分 因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x元，第二次获得优惠券金额为y元，则基本事件空间可以表示为：

{(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)}，

„„„„„ 9分

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即中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率为

19. „„„„ 10分

而乙获得优惠券金额不低于20元，是指xy20，

所以事件B中包含的基本事件有6个， „„„„ 11分 所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为P(B)236923 „„„„ 13分

答：甲获得优惠券面额大于0元的概率为，乙获得优惠券金额不低于20元的

概率为

23.

17. （本小题满分14分）

证明：(Ⅰ) 因为ABCD为菱形，所以AB=BC

又ABC60，所以AB=BC=AC， „„„„„1分 又M为BC中点，所以BCAM „„„„„ 2分 而PA平面ABCD，BC平面ABCD,所以PABC „„„„„ 4分 又PAAMA，所以BC平面AMN „„„„„ 5分

121232（II）因为SAMCAMCM31 „„„„„ 6分

又PA底面ABCD, PA2, 所以AN1 所以，三棱锥NAMC的体积V13SAMCAN „„„„ 8分

1332136 „„„„ 9分

(III)存在 „„„„„ 10分 取PD中点E，连结NE，EC,AE, 因为N，E分别为PA，PD中点，所以NE//1212AD „„„„„ 11分

又在菱形ABCD中，CM//AD

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所以NE//MC，即MCEN是平行四边形 „„„„„ 12分 所以， NM//EC，

又EC平面ACE，NM平面ACE 所以MN//平面ACE， „„„„„ 13分 即在PD上存在一点E，使得NM//平面ACE，

此时PE12PD2. „„„„„ 14

分

18. （本小题满分14分） 解：（I）因为f(1)0,g(1)0，

所以点(1,0)同时在函数f(x),g(x)的图象上 „„„„„ 1分 因为f(x)x1,g(x)alnx， f'(x)2x， „„„„„3分

g'(x)ax2 „„„„„5分

a1由已知，得f'(1)g'(1)，所以22，即a2 „„„„„6分

（II）因为F(x)f(x)2g(x)x12alnx（x0) „„„„„7分

所以F'(x)2x当a0时，

因为x0，且xa0,所以F'(x)0对x0恒成立，

所以F(x)在(0,)上单调递增，F(x)无极值 „„„„„10分； 当a0时，

令F'(x)0，解得x1a,x2a（舍） „„„„„11分

22ax2(xa)x2 „„„„„8分

所以当x0时，F'(x),F(x)的变化情况如下表：

x F'(x) (0,a) a (a,)  0 + 京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/

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极小 值 „„„„„13分

F(x)  所以当xa时，F(x)取得极小值，且

2F(a)(a)12alnaa1alna. „„„„„14分

综上，当a0时，函数F(x)在(0,)上无极值；

当a0时，函数F(x)在x19. （本小题满分13分） 解：（I）设椭圆C的方程为

xa222a处取得极小值a1alna.

yb34221,(ab0)，由题意可得 eca12 ,

又abc，所以b222a „„„„„2分

29因为椭圆C经过（1，

32），代入椭圆方程有

1a2434a21

解得a2 „„„„„4分

所以c1 ，b413故椭圆C的方程为 分

（Ⅱ）解法一：

当直线lx轴时，计算得到：A(1,12123232),B(1,32)，

2x24y231. „„„„„5

SAOB|AB||OF1|13，不符合题意. „„„„„6分

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：yk(x1),k0

yk(x1)2k由x2y2，消去y ，得 (34134京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/

x)28k2x4k212 „„„„07分

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显然0成立，设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1x2分 又|AB|(x1x2)(y1y2)228k2234k, x1x24k1234k22 „„„„„8

(x1x2)k(x1x2)

22221k2(x1x2)k4221k2(x1x2)4x1x2

21k2(34k)24(4k12)34k2 „„„„„9

分 即 |AB|1k212k12234k12(k1)34k|k|1k222

又圆O的半径r分 所以SAOB11分

|k00k|1k2 „„„„„10

112(k1)|AB|r22234k12|k|1k26|k|1k2234k672„„„„„

化简，得17kk180，即(k1)(17k18)0， 解得k11,k2分 所以，r|k|1k22242221817（舍） „„„„„12

22，故圆O的方程为：xy2212. „„„„„13

分

（Ⅱ）解法二：

设直线l的方程为 xty1，

xty122由x2y2，消去x，得 (43t)y6ty90 „„„„„7

134京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/

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分

因为0恒成立，设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则y1y26t2,y1y292 „„„„„8分

43t43t所以|y21y2|(y1y2)4y1y2 236t2(43t2)233t212t143t2 分

2所以SAOB12|F11O||y1y2|6t43t2627

化简得到18t4t2170，即(18t217)(t21)0， 解得t2211,t21718（舍） 又圆O的半径为r|0t01|11t2 1t2所以r12，故圆的方程为：221t22Oxy12 20.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 a11，所以a212a13，a3122a152，a113412a27, a522a22 （Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，bna2n11，

所以bn1a2n1 又a2n1(2a2n1)12(a2n11)2bn

2所以bn12bn 京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/

„„„„„9

„„„„11分

„„„„„12分

13分.

„„„„3分

„„„„4分 „„„„6分

„„„„„

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又b1a2111a112 „„„„7分

n 所以bn是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn2 „„„„8分 （III）存在. 事实上，对任意的m2,kN，在数列{an}中，

a2m*,a2m1,a2m2,....,a2m2m1这连续的2项就构成一个等差数列 „„10分

m我们先来证明：

“对任意的n2,nN，k(0,2由（II）得bna2n*n1),kN，有a2n1k21n*nk2”

n112，所以a2n121 . 122a122a2 当k为奇数时，a2当k为偶数时，a2k,2k1k1,2n1k2n1k12n2k12

n1k12a2n1k12a2n2k2

2k为偶数,记

k为奇数,k2k12因此要证a2n1k21n，只需证明a2n2k12n11，

其中k1(0,2n2),k1N

n1*(这是因为若a2有a212n2k121k12，则当k1k12时，则k一定是奇数，

n1k2a2n1k12122a2n2k12

k1=

k2122(2n11k12)122(2n1122)21nk2；

当k1时，则k一定是偶数，有a2n1k12a2n1k12a2n2k2

2京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/

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k =12(2n11k12n1)12(2n1kn12)21 )

22n2如此递推，要证a2k1,2其中k2k11,2n2k121k12， 只要证明a2n3k221k22，

k1为偶数,，k2(0,2k1为奇数,n3),k2N

*如此递推下去， 我们只需证明a21212521kn2212kn22， kn2(0,2),kn2N

1*即a2112123，即a352*，由（I）可得，

k2所以对n2,nN，k(0,2对任意的m2,mN ，

a2mi2m1*n1),kN，有a2n1k21n，

*1i2，a212mi12m11i12，其中i(0,21),iN，

m*所以a2mi1a2mi

1212又a22mm11，a2m12a....,am11，所以a2mm1a2m

所以a2,a2mm1,2m2,2m2m这连续的2项， 112是首项为a22mm11，公差为的等差数列 . „„„„13分

**说明：当m2m1（其中m12,m1N,m2N）时， 因为a2,a2m2m2,a21m2,...,a22m22m2构成一个项数为21m2的等差数列，所以从这

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个数列中任取连续的2

m1项，也是一个项数为2m1，公差为12的等差数列.

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