豳 计量与测试技，￣）２０１４丰第４７墓第７２期 测量不确定度的自由度的计算 郑 红 （自贡市计量测试研究所，四川自贡６４３０００） 摘要：在不确定度的评定过程中，有时需要计算自由度。本文将就如何理解自由度，特别是如何理解Ｂ类评定的标准不确定度的自由度，以及如何计算Ａ 类评定的标准不确定度的自由度、Ｂ类评定的标准不确定度的自由度，合成标准不确定度的有效自由度等。 关键词：不确定度的评定与表示；自由度；自由度的计算；有效自由度；定义；计算 中图分类号：ＴＢ９ 文献标识码：Ａ 国家标准学科分类代码：４１０．５５ ＤＯ１：１０．１５９８８／ｊ．ｅｎｋｉ．１００４—６９４１．２０１４．１２．０２３ Ｃａｌｃｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ Ｆｒｅｅｄｏｍ ｏｆ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｉｎ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｚｈｅｎｇ Ｈｏｎｇ １ 引言 测量，用极差法求Ａ类评定的标准不确定度时其自由度 在不确定度的评定过程中，有时需要计算自由度。 如当需要评定扩展不确定度 为求得ｋ。时需要计算自 由度；当比对或能力验证在不确定度评定时有时要求计 算自由度，当用户为了解所评定的不确定度的可靠程度 可通过查ＪＪＦ１０５９．１—２０１２（测量不确定度评定与表示》 的表１：极差系数Ｃ及自由度 表得到。 ３．３对同一被测量核查ｍ次，每次核查时测量ｎ次，其 Ａ类评定的标准不确定度的自由度为／．Ｉ＝（ｎ一１）ｍ。其 自由度同以后的测量过程的测量次数无关。 而提出要求时需要计算自由度。本文将就如何理解自由 度，特别是如何理解Ｂ类评定的标准不确定度的自由度 以及如何计算Ａ类评定的标准不确定度的自由度、Ｂ类 评定的标准不确定度的自由度，合成标准不确定度的有 效自由度等。 ２不确定度的自由度 ３．４对同类被测件测量ｍ个，得到ｍ组数据，每组测量 次，其Ａ类评定的标准不确定度的自由度为 ＝ｍ（ 一 １）。 ３．５对同类被测件测量ｍ个，得到ｍ组数据，每组测量 的次数不完全相同，设各为ｎ 次，其每一组的标准偏差的 自由度 ＝／／， 一１，则 Ａ类评定的标准不确定度的自由 度 ：∑ 。 Ｊ ｌ ＪＪＦ１０５９．１—２０１２（￣ｏｊ量不确定度评定与表示》中，给 自由度的定义：在方差的计算中，和的项数减去对和的限 制数。 在重复性条件下，通过ｔ／，次测量确定一个被测 １），其中＂Ｉｔ 为残差，是各测得值与算术平均值之差。 ４ Ｂ类评定的标准不确定度的自由度 根据ＪＪＦ１０５９．１—２０１２《测量不确定度评定与表 不确定度 （ ）的相对标准不确定度△［ （ ）］／ｕ（ ）有 关，其关系为： １ “‘（ ） １ ｒ△［ （ 。）］１～ ，，、 量的估计值时，所得的样本方差为（ ＋ｕ；＋…＋ｕ：）／（ｒ／， 示》，Ｂ类评定的不确定度分量的自由度与所得到的标准 一和的项数即为残差的个数／／，，被测量只有一个即和的受 约束的项数为１，由此可得自由度 ＝ｎ一１。 也可理解为被测量只有一个时，为了估计被测量，只 需要测量一次，但为了提高测量的可信度而多测了ｎ一１ 次，多测的次数可以酌情规定，所以称为自由度，多测了 ｎ一１次，其自由度 ：／７，一１ ｏ ３ Ａ类评定的标准不确定度的自由度 ｉｖｉ 丽一 【 Ｊ 【ｌ 这个计算式到底说的是什么意思？又怎么来计算Ｂ 类评定的不确定度分量的自由度？ ４．１ 关于Ｂ类评定的不确定度的自由度计算公式问题 ４．１．１标准不确定度ｕ（ ）的相对标准不确定度△［ＩＩ， （ ｉ）］／ｕ（ ）的问题 １１，（ ｉ）的相对标准不确定度实际上就是标准不确定 度ｕ（ ）的标准不确定度绝对误差值△［１Ｚ（ ）］除以该 标准不确定度 （ ）所得到的值△［ｕ（ ）］／ｕ（ ｉ），这就 ３．１在重复性条件下，对同一被测量进行／１，次重复 测量，用贝塞尔公式求Ａ类评定的标准不确定度时其自 由度 ＝ｎ一１。 ３．２在重复性条件下，对同一被测量进行ｎ次重复 收稿日期：２０１４—１０—２８ 郑红：测量不确定度的自由度的计算 正如我们在计算相对误差时用的是某测量点的测量绝对 误差（即某测量点的测得量值减该测量点的标准值之 差）除以该测量点的标准值是一个道理；只不过在实际 中标准不确定度绝对误差值△［１１，（ ）］不好计算，而用标 准不确定度ｕ（ ）的标准差盯［ｕ（ ）］来近似替代标准 不确定度绝对误差值△［ｕ（ ）］，然后用１３＂［ （ ）］除以 该标准不确定度ｕ（ｘ ）所得到的值 ［ｔｔ（Ｘ ）］／ｕ（ｘ ）来近 似表示△［ （ ）］／ｕ（ ）而已。 在这里，也许大家对标准不确定度ｕ（ ｉ）的标准差叮 ［ｕ（ ）］比较陌生，不知道是什么意思。实际上在 ＪＪＦ１０５９．１—２０１２｛￣量不确定度评定与表示》中，关于Ａ 类评定，无论是测量过程的合并样本标准偏差的评定以 及规范化的检定、校准或检测量中合并样本标准偏差的 评定，都已经有实验标准偏差的标准偏差０｜［ｓ（ ｉ）］、标 准不确定度的标准偏差ｏｒ［ｕ（ ）］的身影，只不过是用的 ｓ［ｓ（ ）］、ｓ［ｕ（ 川来表示的而已。 如在ＪＦ１０５９．１—２０１２中，关于测量过程的合并样本 标准偏差的评定是这样叙述的： 对一个测量过程，采用核查标准和控制图的方法使 测量过程处于统计控制状态，若每次核查时的测量次数 为ｎｊ（自由度为 ），每次核查时的实验标准偏差为ｓ，，共 核查ｍ次。则统计控制下的测量过程的标准不确定度 可以用合并样本标准偏差ｓ厚 表征。 若每次核查的自由度相等（即每次核查时测量次数 相同）。则合并样本标准偏差为 ｓ ＝／／ 兰 ｍ （２） 以上是ＪＪＦ１０５９．１—２０１２所叙述的。 如果我们把第．『次核查时的实验标准偏差ｓ 用下式 表示 ｓ（， ）、 √ 于／毫（（％一 ） （３） 而 （ ）＝ｓ（ ） ＝ （４） 将式（３）代入式（２），则得 （ 一 ） — （５） 在这里， 就是 的实验标准偏差ｓ（ ）的标准偏差 ｓ［ｓ（ ）］，即我们前面所说的实验标准偏差的标准偏差 盯［ｓ（ｘ ）］。 而 的标准不确定度 （ ）的标准偏差ｓ［ （ ）］，即 ｓ￣ｔｆ、ｘ 川 √ 艇 一＝ √ 一 ：厍×肛 ㈤ 在这里，ｓ［ｕ（ｘｉ）］就是我们前面所说的标准不确定 度“（ ）的标准偏差 （ ）］。 ４．１．２关于不确定度的自由度计算公式问题 Ｂ类评定的不确定度分量的自由度见公式（１）。如 何来理解这个关系式呢？ 在ＪＪＦ１０５９．１—２０１２《测量不确定度评定与表示》 中，关于自由度的术语注解３：自由度反映了相应实验标 准偏差的可靠程度，用贝塞尔公式估计实验标准偏差ｓ 时，ｓ的相对标准差为 （ｓ）／ｓ＝１／√ ｌ，，若测量次数为９， 则 ＝８，表明估计的ｓ的相对标准差 （ｓ）／ｓ＝１／ ２ ＝ ０．２５，其可靠程度达７５％。 由叮（Ｓ）／ｓ＝１／ ，可得： （７） 则 ＝寺 （８） 根据前面的推导，ｕ（ｘｉ）＝ ，（由式（４）可得） √ｎ （戈 ）】： （由式（６）可得） √ｎ 所以ｓ（ ）＝ｕ（ ）√ｎ，ｓ【ｓ（ ）】＝ｓ【ｕ（ ）】√ｎ 于是得 ＝ ＝ 对式（９）中的ｓ（ ）用ｓ表示，ｓ［ｓ（ ）］用叮（ｓ）表 示，ｓ［ｕ（ 用盯［ｕ（ 川表示，代人式（８）可得 １ ｓ ［ｕ（ｘ ） ］ １ （ ） 丽 丽 标准不确定度ｕ（ｘ ）的标准偏差ｃｒ［ｕ（ｘ ）］用标准不确 定度ｕ（ｘｉ）的绝对误差值Ａ［ｕ（ｘ ）］来近似表示，则得到： １ ｓ １ （ ） １ ｒ△［Ｍ（ ）】１ 丽 【 Ｊ 式中的△［ （ ）］是标准不确定度 （ ）的绝对误 差值△［ （ ）］，它并不是代表 （ｘ ）的增量，而是代表 评定ｕ（ ）的不可靠程度。举砝码准确度等级引入的标 准不确定度为例，根据ｊｊＦ９９—２００６（砝码》检定规程：在 规定的准确度等级内，任何一个质量标称值为ｍ。的单个 砝码，其折算质量的扩展不确定度，ｕ（ ＝２），应不大于 相应准确度等级的最大允许误差绝对值的三分之一。以 ２００ｇ的Ｅ：等级砝码为例，其最大允许误差绝对值为 ０．３ｒａｇ，则其扩展不确定度Ｕ＝０．１ｍｇ，由此得到２００ｇ的 Ｅ 等级砝码由准确度等级所引人的标准不确定度 （ ） ＝０．０５ ｍｇ。因为我们是根据检定规程的规定来确定的 ｕ（ ）：０．０５ｍｇ，其可信程度是比较高的，相对不可靠估 计为１０％，由此可倒推算出△［ （ ）］＝０．００５ｍｇ，这个 值也就是标准不确定度 （ ）的标准不确定度绝对误差 值，则标准不确定度ｕ（ ）的相对标准不确定度的估计 值△［ｕ（ ）］／ｕ（ ）＝１０％。其自由度 ＝５０。这里举 这个例子，只是说明△［ （ ）］的含义，而并不是让你去 具体计算△［ （ ）］、△［ｕ（ ）］／ｕ（ｘ ）。 上面举的是求由砝码的准确度等级所引入的标准不 确定度时的自由度的例子，这也是求Ｂ类评定的不确定 度分量自由度的一个例子。现在我们仍以２００ｇ的Ｅ 等 级砝码为例，来求Ａ类评定的不确定度分量的自由度。 对一个测量过程，采用核查标准和控制图的方法使测量 过程处于统计控制状态，对同一被测量核查ｍ次，每次 核查时测量ｎ次，其Ａ类评定的标准不确定度的自由度 为 ＝（ｎ一１）ｍ。假设对２００ｇ的Ｅ：等级砝码核查１０ 次，每次核查时测量６次，则Ａ类评定的标准不确定度 的自由度为 ＝（６—１）Ｘ １０＝５０。 如果我们想通过实际测量来计算标准不确定度ｕ （ ）的标准偏差仃［ｕ（ ）］，那就可根据上面的方式，对 同一被测量核查ｍ次（组），每次核查时测量ｎ次，首先 用贝塞尔公式计算出每组的实验标准偏差ｓ（ ），除以 得到每组的标准不确定度 （ ），再利用公式（８）计算出 标准不确定度ｕ（ 。）的标准偏差 ｕ（ ）］即叮［ｕ（ ）］， 用（ｉｔ［ｕ（ ｉ）］除以ｕ（ ）即可得到盯［ （ ）］／ｕ（ｘ ）即△ ［ （ ）］／ｕ（ ）的值。不过要注意的是计算所得到的仃 ［ （ ）］只有一个，而每组的标准不确定度ｕ（ ）对本例 来说有６个值，也就是说得到的盯［ （ ）］／ｕ（ ）有６个 值；如果我们将６个“（ ）相加除以６得到其平均值 （ ），那就只得到一个 ｕ（Ｘ ）］／ｕ（ ）值了！这就像我 们测量２００ｇ的Ｅ：等级砝码６次，如果用每次的测得量值 减标准值之差除以标准值可得到６个相对误差值，而用 ６次的平均值减标准值之差除以标准值就只能得到１个 相对误差值一即平均值的相对误差了！ 由上面的推导及例子可以看出，Ａ类评定、Ｂ类评定 的自由度的计算并不是孤立的，而是相通的，且相互关联 的，只不过计算的方式不同而已。 ４．２关于不确定度的自由度计算公式如何应用的问题 根据经验，按所依据的信息来源的可信程度来判断 （ ）的相对标准不确定度△［Ｍ（ ）］／ｕ（ ）。 在这里，已经说得非常明白了：对于Ｂ类评定的不 确定度分量的自由度的计算是根据经验来判断得出的， 而不是让你去具体计算得出来的。 正因为如此，在测量不确定度的Ｂ类评定的案例 中，一般没有去计算１２．（ ）的标准不确定度绝对误差值 的，都是直接抬出 ［１１，（ ）］／ｕ（ ）或△［ｕ（ ）］／ｕ（ ） ＜ｒ计量与测试技术，）２０１４丰ｇ４１基第，２期 等于多少，然后直接代人式（１）计算出自由度的；有的资 料干脆就直接抬出“相对不可靠估计为ｘｘ％”，以替代△ ［ （ ）］／ｕ（ｘ ）然后直接代人式（１）计算出自由度。说 到这里，不能不提到的是，在有的测量不确定度评定与表 示实例的书中，如本应该称为“相对不可靠估计为１０％” 的话却写成“对该估计的可靠性为１０％”，而且全书都是 如此。笔者认为将本该是相对不可靠为１０％写成可靠 性为１０％是错误的，因为不可靠为１０％其可靠性就为 ９０％，而可靠性为１０％则不可靠就成了９０％了。这是我 们将自由度的概念搞清楚之后，再来看这些问题就觉得 这是不应该犯的错误了！ 这就不难理解：估计△［ （ ）］／ （ ｉ）＝１０％，则自 由度／．ｉｉ＝５０。它就是根据有关信息估计ｕ（ ）的计算值 的不可靠性△ （ ）／ｕ（ ）为１０％，即可得 一号［【 砉譬 ］ 一Ｊ ～＝丢××【 ］而Ｊ ～： １ ｘ１００＝５０ｕ 那么，我们怎么来估算△［ （ ）］／“（ ）呢？其方 法是：根据经验按所依据的“信息来源的可信程度”来判 断。信息来源的可信程度越高，相对不可靠估计值就越 ／ｂ（这里绝不能因为相对不可靠估计值越小或越大就推 出标准不确定度ｕ（ ）的绝对误差值的估计值△［／．ｔ （ ）］也越小或越大的错误结论），自由度就越大。如果 信息来源的可信程度比较低，相对不可靠估计值就越大， 自由度就越小。 既然／ｔ［ （ ）］／ｕ（ｘｉ）是相对不可靠估计的程度，那 我们就非常好操作了，这完全由我们“根据经验，按所依 据的信息来源的可信程度”来主观判断或者参考已有的 范例。通常情况下，对绝大多数的检测机构出具的测量 结果或诸如示值误差、读数误差、分辨力等引起的标准不 确定度，其不可靠的程度通常就取１０％。只有那些绝对 可靠的理论数据我们才１００％相信，其不可靠的程度为 ０，自由度也就是。。了。得到相对不可靠的估计值后，可 通过查ＪＪＦ］０５９．１—２ｏ１２＜＜测量不确定度评定与表示》的 表４：△［ｕ（ ）］／ （ ）与 关系表得到 。 ５合成标准不确定度的有效自由度 合成标准不确定度ｕ （Ｙ）的自由度称为有效自由 度，用符号 表示。它说明了所评定的合成标准不确定 度的可靠程度，并可用于在评定扩展不确定度ｕ 时求得 包含因子ｋ。。 当各分量间相互且输出量接近正态分布或ｔ分 布时，合成标准不确定度的有效自由度通常按下式计算 ｕ：（ｙ） Ｎ ４ ｉ＝１ ｂ＇ｉ （下转第４８页） 雹 Ｕ＝３．５×１０ ＋１２１￣Ａ 计量与脚试技术 ０７４丰第４７卷第Ｔ２期 不确定度，见表４。 表３各量程区间数字多用表示值误差测量值的不确定度 钡４量１Ａ时Ｕ＝３．５×１０一 ×１＋１２ｐＡ＝±４．７× １Ｏ Ａ，标准不确定度来源均为正态分布，包含因子 ＝ ２，则 ｕ（ＩＮ）＝Ｕ／ｋ＝４．７×１０～／２Ａ＝２．３５×１０ Ａ ０．０００１ 一２２０１ｘＡ １．２×１０一 ２．３×１０～ ２．６×１０一 ５．２×１０～ ５．２×１０一 ４标准不确定度汇总表 表２标准不确定度汇总表 ２如 一２．２ｍＡ ９×１０一ｍＡ ２．１×１０一 ⅡＬＡ ２．３×ｌ０一 ｍＡ ４．６ ｘｌ０一 ｍＡ ４．６×１Ｏ一 ２．２ｍＡ ２２ｍ／ｉ ８×１０—５ｍＡ ２０×１０一 ｍＡ ２．２ｘ１０－４ｍＡ ４．４×ｌ０一 ｍＡ ４．４×１０— ． ｘ１０—５ ２２ｍＡ ２２０ｍＡ １．１×１０一ｍＡ ２．６×１０—３ｍＡ ２９×１０—３ｍＲ ５８×１０～ｍＡ ５．８．．２２０ｍＡ ２．２Ａ ２．４×１０一 Ａ ２．３５×１０一 Ａ ２．３６ ｘ１０一 Ａ ４．７ ｘ１０一 Ａ ４．７×１０一 ２Ａ １０Ａ ９ ｘｌＯ一 Ａ ２．１×１０—３Ａ ２３ ｘ１０— Ａ ４．６×１０一 Ａ ４．６ ｘ１０一 ．５合成标准不确定度的评定 合成标准不确定度ｕ。（ ） 由２．３条可得到 ｕ （ ）＝￣／Ｍ （ ）＋Ｍ （，Ⅳ）＝２．３６×１０ Ａ ６扩展不确定度的评定 取 ＝２，扩展不确定度ｕ为 Ｕ＝Ｊｉ｝ｕ （ ）＝２ ｘ２．３６×１０ Ａ＝４．７×１０一 Ａ 参考文献 ［１］冯占岭．ＪＪＧ５９８—１９８９（直流数字电流表检定规程》．中国计量出 版社，１９８９． ［２］叶德培．测量不确定度评定与表示．中国标准出版社，２０１２． 换算至相对扩展不确定度为 测量１Ａ时， ｆ＝４．７×１０ ＝２ 根据同样的方法，对其他测量点进行不确定度评定， 结果如表３。 ７不确定度报告 作者简介：任刚，男，助理工程师。工作单位：奎屯市质量技术监督局。 通讯地址：８３３２００奎屯市质量技术监督局。 马晓军。伊犁州计量检定所（伊宁８３５０００）。 数字多用表直流电流各量程区间示值误差测量值的 （上接第４６页） 在计算有效自由度时，必须注意ｕ （ｙ）是测量结果 ｙ 的标准不确定度分量，其 （ｙ）＝ ｕ（ ），即 （），）是 ｏ．＾ｉ １， 标准不确定度ｕ（ ）乘灵敏系数 之积，而不能在计算 ａ ‘ 时只代人标准不确定度“（ ）之值。 当测量模型为Ｙ＝Ａ 砼… 时，有效自由度可用 相对标准不确定度的形式计算， ［ （ｙ） ］ ［Ｐ＇ｕ（—ｘ＇）／ｘｉ］４ —ｉ＝ｌ ／，ｔｉ 实际计算中，得到的有效自由度不一定是一个整数。 如果不是整数，可以采用将 的数字舍去小数部分取 法：一是“四舍六人，逢五取偶”，例如计算得到Ｕ＝ １１．２５ｍｍ，则取Ｕ＝１１ｍｍ；二是将不确定度的末位后的 数字全部进位而不是舍去。例如计算得到Ｕ＝ １１．２５ｍＦｆｌ，则取Ｕ＝１２ｍｍ。其扩展不确定度的数字只人 不舍的做法同有效自由度的数字只舍不入的做法正好截 然相反。但其最终都能起到使扩展不确定度增大的效 果，这样更为保险。另外，扩展不确定度增大这在参加比 对特别是比对结果采用归一化偏差Ｅ 值来评判时对参 比实验室非常有利。 ６结束语 通过以上的分析，可以看出在Ａ类评定、Ｂ类评定以 及合成标准不确定度中其自由度的计算是不同的，但是 相互之间又是有关联的，理解和掌握自由度的概念和计 算对我们评定不确定度是非常有用的。 参考文献 整。例如计算得到Ｉ，。 ＝１１．７５，则取／，＇ｅｔ＝１１。ｆ 因为当包含概率相同时，有效自由度往小靠整其包 含因子．ｊ｝ 比有效自由度往大靠整的包含因子 。大，由此 可使其扩展不确定度也大。例如当包含概率为０．９５时， 有效自由度 ＝１１， ＝２．２０；Ｖ，ｆ／－＝１２， ＝２．１８，前者的 大于后者，显然当合成标准不确定度相同时其前者的 扩展不确定度也大于后者。 这里，顺便谈到扩展不确定度的数字修约，有两种方 ［１］ＪＪＦ＇１０５９．１—２０１２｛测量不确定度评定与表示》．北京：中国计量出 版社． ［２］ＪＪＦ１００１—２０１１《通用计量术语及定义技术规范》．北京：中国计量 出版社． 作者简介：郑红，女，工程师。工作单位：自贡市计量测试研究所。通讯地 址：６４３０００四川省自贡市高新工业园区荣ＪＩｌ路６号。
