2019-2020学年河南省周口市鹿邑县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 六边形的外角和为( )
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
3. 目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，国产芯片的最小工艺水平理论上是12纳米，
已知1纳米=10−9米，用科学记数法将12纳米表示为( )米．
A. 12×10−9 B. 1.2×10−10 C. 1.2×10−8 D. 0.12×10−8
4. 下列运算中，结果是𝑎6的是( )
A. 𝑎2·𝑎3 B. 𝑎12÷𝑎2 C. (𝑎3)3 D. (−𝑎)6
5. 点P在∠𝐴𝑂𝐵的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选
项正确的是( )
A. 𝑃𝑄≤5
0.2𝑥+1
B. 𝑃𝑄<5 C. 𝑃𝑄≥5 D. 𝑃𝑄>5
6. 不改变分式2+0.5𝑥的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是( )
A. 2+5𝑥
2𝑥+1
B. 4+𝑥
𝑥+5
C. 20+5𝑥
2𝑥+10
D.
2𝑥+12+𝑥
7. 把𝑥2𝑦−2𝑥𝑦2+𝑦3分解因式正确的是( )
A. 𝑦(𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2) C. 𝑦(𝑥−𝑦)2
B. 𝑥2𝑦−𝑦2(2𝑥−𝑦) D. 𝑦(𝑥+𝑦)2
8. 如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐵𝐷，∠𝐸=50°，∠𝐷=62°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数是( )
A. 68° B. 62° C. 60° D. 50°
9. 等腰三角形的两边分别为12和6，则这个三角形的周长是( )
A. 24 B. 18 C. 30 D. 24或30
10. 小亮从家出发去距离9千米的姥姥家，他骑自行车前往比乘汽车多用20分钟，乘汽车的平均速
度是骑自行车的3倍，设骑自行车的平均速度为x千米/时，根据题意列方程得( )
A. 3𝑥−𝑥=20
99
B. 3𝑥−𝑥=60
9920
C. 𝑥−3𝑥=20
99
D. 𝑥−3𝑥=60
9920
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 如果分式
𝑥(𝑥−2)𝑥−2
的值为0，则x的值是______．
12. 计算：(2𝑎−𝑏)2= ______ ．
13. 如图，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等边三角形，𝐴𝐵≠𝐴𝐶.下列结论中，正
确的是______ ．
①𝐵𝐸=𝐶𝐷；②∠𝐵𝑂𝐷=60°；③∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝑂． 14. 如图，有一个边长为4cm的正方形ABCD，将
一块45°的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与BC边交于点E，与CD边交于点𝐹.则四边形OECF的面积是______ 𝑐𝑚2．
15. 已知关于x的分式方程𝑥−3+3−𝑥=2𝑎无解，则a的值为________． 三、计算题（本大题共2小题，共16.0分） 16. 解方程：𝑥−3=1+3−𝑥
17. 计算：
3𝑥
1
𝑥
3𝑎
(1)4𝑥2−(−2𝑥+3)(−2𝑥−3)；
(2)(𝑥+2𝑦)2−(𝑥+𝑦)(3𝑥−𝑦)−5𝑦2．
四、解答题（本大题共6小题，共59.0分）
18. 如图，在直角坐标系中，𝐴(−1,5)，𝐵(−3,0)，𝐶(−4,3)．
(1)在图中作出△𝐴𝐵𝐶关于y轴对称的图形△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐶1的坐标； (2)求△𝐴𝐵𝐶的面积．
19. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D是AC上一点，且𝐴𝐵=𝐵𝐷=𝐷𝐶，∠𝐶=36°，
求∠𝐷𝐵𝐶和∠𝐴𝐵𝐶的度数．
20. 先化简，再求值：(1+𝑎−1)÷𝑎2−1，其中𝑎=−2．
21. 如图，已知四边形ABCD是梯形，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴=90°，𝐵𝐶=𝐵𝐷，𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，垂足为E．
1
2𝑎
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐵；
(2)若∠𝐷𝐵𝐶=50°，求∠𝐷𝐶𝐸的度数．
22. 某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360
元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同． (1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
(2)若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
23. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长
线上，且𝑀𝐷⊥𝐷𝑁，连MN．
(1) 求证：𝐷𝑀=𝐷𝑁．
(2) 若∠𝐷𝑁𝐶=15°，𝐵𝑁=1.求MN的长．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：A、是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故正确． 故选：D．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.答案：B
解析：
此题主要考查了多边形的外角和定理的知识，任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关.根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 解：六边形的外角和等于360度． 故选B．
3.答案：C
解析：解：∵1纳米=10−9米，
∴12纳米表示为：12×10−9米=1.2×10−8米． 故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.答案：D
解析：
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，据此对各项进行计算判断即可．
解：𝐴.𝑎2·𝑎3=𝑎5，故本选项错误； B.𝑎12÷𝑎2=𝑎10，故本选项错误； C.(𝑎3)3=𝑎9，故本选项错误； D.(−𝑎)6=𝑎6，故本选项正确． 故选D．
5.答案：C
解析：
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 解：∵点P在∠𝐴𝑂𝐵的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴𝑃𝑄≥5． 故选C．
6.答案：C
解析：
=𝐵·𝑚，此题主要考查了分式的基本性质，运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：𝐵=𝐵÷𝑚(其中𝑚≠0)和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中任意𝐵
两个，分式的值不变．因为要求不改变分式的值，把2+0.5𝑥的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可． 解：∵不改变分式2+0.5𝑥的值，
0.2𝑥+1
0.2𝑥+1
𝐴
𝐴÷𝑚
𝐴
𝐴·𝑚
∴把2+0.5𝑥的分子分母的各项系数都乘以10得：20+5𝑥． 故选C．
0.2𝑥+12𝑥+10
7.答案：C
解析：解：𝑥2𝑦−2𝑦2𝑥+𝑦3 =𝑦(𝑥2−2𝑦𝑥+𝑦2) =𝑦(𝑥−𝑦)2． 故选：C．
首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
8.答案：A
解析：
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理求出∠𝐸𝐵𝐷，根据全等三角形的性质解答． 解：∵∠𝐸=50°，∠𝐷=62°， ∴∠𝐸𝐵𝐷=180°−50°−62°=68°， ∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐷=68°， 故选A．
9.答案：C
解析：解：(1)当三边是6，6，12时，6+6=12，不符合三角形的三边关系，应舍去； (2)当三边是6，12，12时，符合三角形的三边关系，此时周长是30； 所以这个三角形的周长是30． 故选C．
本题没有明确说明已知的边长哪个是腰长，则有两种情况：①腰长为6；②腰长为12.再根据三角形的性质：三角形的任意两边的和>第三边，任意两边之差<第三边判断是否满足，再将满足的代入周
长公式即可得出周长的值．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10.答案：D
解析：解：设骑自行车的平均速度为x千米/时，则乘汽车的平均速度是3x千米/时， 根据题意，可列方程：𝑥−3𝑥=60， 故选D．
设骑自行车的平均速度为x千米/时，则乘汽车的平均速度是3x千米/时，根据“骑自行车前往比乘汽车多用20分钟”可列方程．
本题主要考查根据实际问题列分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系，注意单位统一．
9
9
20
11.答案：0
解析：
本题考查的是分式值为零的条件，属于基础题． 根据分式值为零的条件列式计算即可． 解：由题意得，𝑥(𝑥−2)=0，且𝑥−2≠0， 解得，𝑥=0， 故答案为：0．
12.答案：4𝑎2−4𝑎𝑏+𝑏2
解析：解：原式=4𝑎2−4𝑎𝑏+𝑏2， 故答案为：4𝑎2−4𝑎𝑏+𝑏2
原式利用完全平方公式展开即可得到结果．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.答案：①②
解析：解：∵△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等边三角形，
∴𝐴𝐷=𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷=60°，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶=60°， ∴∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸， 在△𝐷𝐴𝐶和△𝐵𝐴𝐸中 𝐴𝐷=𝐴𝐵
{∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸， 𝐴𝐶=𝐴𝐸
∴△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐸，
∵∠𝐵𝑂𝐷=180°−∠𝑂𝐷𝐵−∠𝐷𝐵𝐴−∠𝐴𝐵𝐸 =180°−∠𝑂𝐷𝐵−60°−∠𝐴𝐷𝐶 =120°−(∠𝑂𝐷𝐵+∠𝐴𝐷𝐶) =120°−60°=60°，
∴∠𝐵𝑂𝐷=60°，∴①正确；②正确； ∵△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等边三角形，
∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶=60°，但根据已知不能推出∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐵， ∴说∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝑂错误，∴③错误； 故答案为：①②．
根据等边三角形的性质推出𝐴𝐷=𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷=60°，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶=60°，求出∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸，根据SAS证△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸，推出𝐵𝐸=𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐸，根据三角形的内角和定理求出∠𝐵𝑂𝐷=180°−∠𝑂𝐷𝐵−∠𝐷𝐵𝐴−∠𝐴𝐵𝐸=60°，根据等边三角形性质得出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶=60°，但∠𝐴𝐷𝐶≠∠𝐴𝐸𝐵，根据以上推出的结论即可得出答案．
本题考查了对等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用．
14.答案：4
解析：解：
连接AC和BD，则AC、BD都过O， ∵四边形ABCD是正方形，
∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷，∠𝐵𝑂𝐶=90°，∠𝑂𝐶𝐹=∠𝑂𝐵𝐸=45°， ∴𝑆△𝐵𝑂𝐶=4𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=4𝑐𝑚×4𝑐𝑚×4=4𝑐𝑚2， ∵∠𝐸𝑂𝐹=∠𝐵𝑂𝐶=90°， ∴∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹=90°−∠𝐸𝑂𝐶， 在△𝐵𝑂𝐸和△𝐶𝑂𝐹中 ∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹{𝑂𝐵=𝑂𝐶 ∠𝑂𝐵𝐸=∠𝑂𝐶𝐹
∴△𝐵𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐹(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑆△𝐵𝑂𝐸=𝑆△𝐶𝑂𝐹，
∴𝑆四边形𝑂𝐸𝐶𝐹=𝑆△𝐸𝑂𝐶+𝑆△𝐶𝑂𝐹=𝑆△𝐸𝑂𝐶+𝑆△𝐵𝑂𝐸=𝑆△𝐵𝑂𝐶=4𝑐𝑚2 故答案为：4．
根据正方形的性质得出𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷，∠𝐵𝑂𝐶=90°，∠𝑂𝐶𝐹=∠𝑂𝐵𝐸=45°，求出∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹，根据全等三角形的判定得出△𝐵𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐹，即可求出四边形EOCF的面积=三角形BOC的面积，即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，本题的解题关键是知道题中重合的部分的面积是不变的，总是等于正方形ABCD面积的4．
1
1
1
15.答案：2或1
解析：
本题考查了分式方程的解，将分式方程的增根代入整式方程得出关于a的方程是解题关键．根据分式方程无解可得分式方程的增根适合整式方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
1
解：原方程变为𝑥−3−𝑥−3=2𝑎， 去分母，得𝑥−3𝑎=2𝑎(𝑥−3)， 则𝑥=2𝑎−1， 因为分式方程无解， 所以𝑎=2，
分式方程的增根是𝑥=3， 把𝑥=3代入得3−3𝑎=0， 解得：𝑎=1. 故答案为2或1.
113𝑎
𝑥3𝑎
16.答案：解：两边都乘以𝑥−3，得：3𝑥=𝑥−3−1，
解得：𝑥=−2，
检验：当𝑥=−2时，𝑥−3=−2−3=−5≠0， ∴分式方程的解为𝑥=−2．
解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17.答案：(1)解：原式=4𝑥2−(4𝑥2−9)，
=4𝑥2−4𝑥2+9， =9；
(2)解：原式=𝑥2+4𝑥𝑦+4𝑦2−(3𝑥2−𝑥𝑦+3𝑥𝑦−𝑦2)−5𝑦2， =𝑥2+4𝑥𝑦+4𝑦2−3𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2−5𝑦2， =−2𝑥2+2𝑥𝑦．
解析：本题主要考查的是整式的混合运算，多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式的有关知识．
(1)利用整式的混合运算的运算法则进行计算即可； (2)利用整式的混合运算的运算法则进行计算即可．
18.答案：解：(1)如图，△𝐴1𝐵1𝐶1为所作；
点𝐶1的坐标为(4,3)；
(3)△𝐴𝐵𝐶的面积=3×5−2×3×1−2×3×2−2×5×2=
1
1
1
112
解析：本题考查了作图−对称性变换，三角形的面积有关知识．
(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征写出𝐴1、𝐵1、𝐶1的坐标，然后描点即可； (2)用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△𝐴𝐵𝐶的面积．
19.答案：解：∵𝐵𝐷=𝐷𝐶，∠𝐶=36°，
∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐶=36°，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐶=72°， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐷，
∴∠𝐴=∠𝐴𝐷𝐵=72°， ∴∠𝐴𝐵𝐷=36°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=72°．
解析：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答．
20.答案：解：原式=𝑎−1×
=
𝑎+12
𝑎(𝑎+1)(𝑎−1)
2𝑎
，
−2+12
当𝑎=−2时，原式=
=−2．
1
解析：此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握运算法则是解题关键． 直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
21.答案：(1)证明：∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐵𝐶． ∵𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，∠𝐴=90°， ∴∠𝐴=∠𝐶𝐸𝐵， 在△𝐴𝐵𝐷和△𝐸𝐶𝐵中，
∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐵𝐶{∠𝐴=∠𝐶𝐸𝐵, 𝐵𝐷=𝐵𝐶
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐵；
(2)解：∵∠𝐷𝐵𝐶=50°，𝐵𝐶=𝐵𝐷， ∴∠𝐸𝐷𝐶=2(180°−50°)=65°， 又∵𝐶𝐸⊥𝐵𝐷， ∴∠𝐶𝐸𝐷=90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸=90°−∠𝐸𝐷𝐶=90°−65°=25°．
1
解析：此题主要考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及平行线的性质和三角形内角和定理．
(1)因为这两个三角形是直角三角形，𝐵𝐶=𝐵𝐷，因为𝐴𝐷//𝐵𝐶，还能推出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐵𝐶，从而能证明：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐵．
(2)因为∠𝐷𝐵𝐶=50°，𝐵𝐶=𝐵𝐷，可求出∠𝐸𝐷𝐶的度数，进而求出∠𝐷𝐶𝐸的度数．
22.答案：解：(1)设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是(𝑥−5)元，
根据题意得：
360𝑥
=𝑥−5，
300
解得：𝑥=30，
经检验，𝑥=30是方程的解且符合题意， 且30−5=25(元)，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元， (2)设购买m件甲种商品，则购买(40−𝑚)件乙种商品， 根据题意得：
30𝑚+25(40−𝑚)≤1150， 解得：𝑚≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
解析：本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键：(1)正确找出等量关系，列出分式方程，(2)正确找出不等关系，列出一元一次不等式．
(1)设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是(𝑥−5)元，根据“用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同”，列出关于x的分式方程，解之经过验证即可， (2)设购买m件甲种商品，则购买(40−𝑚)件乙种商品，根据“商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元”，列出关于m的一元一次不等式，解之即可．
23.答案：证明：(1)连接CD，
∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝐴=45°，CD平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐷𝐶𝐵=45°，
∴∠𝐷𝐵𝑁=90°+45°=135°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，D为AB的中点， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐷，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∵𝐷𝑀⊥𝐷𝑁，
∴∠𝐶𝐷𝐵=∠𝑀𝐷𝑁=90°，
∴都减去∠𝐵𝐷𝑀得：∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐵𝐷𝑁， 在△𝐶𝐷𝑀和△𝐷𝐵𝑁中， ∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐵𝐷𝑁{𝐶𝐷=𝐵𝐷， ∠𝐷𝐶𝑀=∠𝐷𝐵𝑁
∴△𝐶𝐷𝑀≌△𝐵𝐷𝑁(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐷𝑀=𝐷𝑁．
(2)解：∵△𝐶𝐷𝑀≌△𝐵𝐷𝑁，
∴∠𝐷𝑀𝐶=∠𝐷𝑁𝐵=15°，𝐶𝑀=𝐵𝑁=1， ∵∠𝑀𝐷𝑁=90°，𝐷𝑁=𝐷𝑀， ∴∠𝑀𝑁𝐷=45°， ∴∠𝑀𝑁𝐶=30°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝑀𝐶𝑁=90°， ∴𝑀𝑁=2𝐶𝑀=2𝐵𝑁=2．
解析：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
(1)连接CD，求出𝐶𝐷=𝐵𝐷，∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐵𝐷𝑁，∠𝑀𝐶𝐷=∠𝐷𝐵𝑁，证△𝐷𝐶𝑀≌△𝐷𝐵𝑁，推出即可； (2)求出𝐶𝑀=𝐵𝑁=1，∠𝑀𝑁𝐶=30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．
