2021-2022学年湖南省永州市零陵区八年级第一学期期中数学试
卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A．2 2．要使分式A．x≠1
3．在，﹣2ab2，，A．2个
B．3
C．4
D．5
有意义，则x应满足的条件是（ ）
B．x≠﹣1
C．x≠0
D．x＞1
中，分式共有（ ） B．3个
C．4个
D．5个
4．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（ ） A．9；5
B．3；5
C．5；3
D．6；12
5．等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ） A．50°
B．50°或65°
C．80°或50°
D．65°
6．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（ ） A．C．
B．D．
7．如图，两个三角形为全等三角形，则∠α的度数是（ ）
A．72° 8．计算﹣A．﹣
B．60°
的结果是（ ）
B．
C．58° D．50°
C． D．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长等于（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．计算﹣（﹣2x3y2）4的结果是（ ） A．16x7y6
B．﹣16x7y6
C．16x12y8
D．﹣16x12y8
二、填空题（本大题共10小题，共40分） 11．当x＝ 时，分式
没有意义．
12．填空：（a﹣3）4＝ ．
13．定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是： ．
14．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则外角∠ACD＝ 度．
15．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ． 16．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，将0.0007用科学记数法表示为 ． 17．已知
，则
的值是 ．
18．化简：＝ ．
19．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC＝ ．
20．当m＝ 时，方程会产生增根．
三、解答题（本大题共7小题，共70分） 21．计算：
﹣﹣
（1）a2b2•（﹣3a2b3）2．
（2）．
22．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x＝2．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝18°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．
24．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． 求证：△ACD≌△CBE．
25．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
26．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站
时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
27．已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF． （1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系； （2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB＝8，请直接写出线段CM的长．
参
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 解：设第三边长为x，由题意得： 7﹣3＜x＜7+3， 则4＜x＜10， 故选：D． 2．要使分式A．x≠1
有意义，则x应满足的条件是（ ）
B．x≠﹣1
C．x≠0
D．x＞1
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0． 解：∵x+1≠0， ∴x≠﹣1． 故选：B．
3．在，﹣2ab2，，A．2个
中，分式共有（ ） B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据分式的定义进行选择即可． 解：分式有，故选：A．
4．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（ ） A．9；5
B．3；5
C．5；3
D．6；12
两个，
【分析】根据积的乘方法则展开得出a3mb3n＝a9b15，推出3m＝9，3n＝15，求出m、n即可．
解：∵（ambn）3＝a9b15， ∴a3mb3n＝a9b15， ∴3m＝9，3n＝15，
∴m＝3，n＝5， 故选：B．
5．等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ） A．50°
B．50°或65°
C．80°或50°
D．65°
【分析】分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可． 解：当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，由三角形内角和定理可求得底角为：65°， 所以底角为50°或65°， 故选：B．
6．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（ ） A．C．
B．D．
【分析】设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，根据：现在植树400棵所需时间＝原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵， 根据题意，可列方程：故选：A．
7．如图，两个三角形为全等三角形，则∠α的度数是（ ）
＝
，
A．72° B．60° C．58° D．50°
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠1的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠α＝∠1＝72°．
解：根据三角形内角和可得∠1＝180°﹣50°﹣58°＝72°， 因为两个全等三角形，
所以∠α＝∠1＝72°， 故选：A．
8．计算﹣A．﹣
的结果是（ ）
B．
C．
D．
【分析】首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可求得答案． 解：﹣故选：A．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长等于（ ）
＝
＝
＝﹣
．
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】先根据等腰三角形的性质得出AC＝AB＝5cm，再根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，故AP+PC＝AC，由此即可得出结论． 解：∵△ABC中，AB＝AC，AB＝5cm， ∴AC＝5cm，
∵AB的垂直平分线交AC于P点， ∴BP+PC＝AC，
∴△PBC的周长＝（BP+PC）+BC＝AC+BC＝5+3＝8cm． 故选：C．
10．计算﹣（﹣2x3y2）4的结果是（ ） A．16x7y6
B．﹣16x7y6
C．16x12y8
D．﹣16x12y8
【分析】根据积的乘方和幂的乘方求出即可．
解：﹣（﹣2x3y2）4＝﹣16x12y8， 故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，共40分） 11．当x＝ 2 时，分式
没有意义．
【分析】根据分式无意义的条件可得x﹣2＝0，再解即可． 解：由题意得：x﹣2＝0， 解得：x＝2， 故答案为：2． 12．填空：（a﹣3）4＝
．
【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据负整数指数幂的定义求出即可． 解：（a﹣3）4＝a﹣12 ＝
，
．
故答案为：
13．定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是： 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ． 【分析】写出下列定理的逆命题解答即可．
解：定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
14．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则外角∠ACD＝ 105 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 解：∵∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝45°+60°＝105°． 故答案为：105．
15．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ．
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长． 解：因为2+2＝4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2＝10， 答：它的周长是10， 故答案为：10
16．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，将0.0007用科学记数法表示为 7×10﹣4 ． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：0.0007＝7×10﹣4．
﹣
故答案为：7×104．
17．已知，则的值是 ﹣2 ．
＝，再利用比例性质可得ab＝
【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得﹣2（a﹣b），再利用等式性质易求解：∵﹣＝， ∴
＝，
的值．
∴ab＝2（b﹣a）， ∴ab＝﹣2（a﹣b）， ∴
＝﹣2．
故答案是：﹣2． 18．化简：
＝
．
【分析】分子分母先分解因式，再约分化简． 解：
＝＝．
19．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC＝ 75° ．
【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可； 解：∵∠CEA＝60°，∠BAE＝45°， ∴∠ADE＝180°﹣∠CEA﹣∠BAE＝75°， ∴∠BDC＝∠ADE＝75°， 故答案为75°． 20．当m＝ ﹣3 时，方程
会产生增根．
【分析】方程两边都乘最简公分母（x﹣3）化为整式方程，把可能的增根x＝3代入即可求解．
解：方程两边都乘以公分母（x﹣3），得：x＝2（x﹣3）﹣m①， 由x﹣3＝0，得：x＝3， 把x＝3代入①，得：m＝﹣3． ∴当m＝﹣3时，原方程有增根． 三、解答题（本大题共7小题，共70分） 21．计算：
（1）a﹣2b﹣2•（﹣3a2b3）2． （2）
．
【分析】（1）先算积的乘方，然后单项式乘单项式； （2）先去分母，再解方程，最后一定检验． 解：（1）a﹣2b﹣2•（﹣3a2b3）2 ＝a﹣2b﹣2•9a4b6
＝9a2b4； （2）
，
100（x+7）＝30x， 100x+700＝30x， 100x﹣30x＝﹣700， 70x＝﹣700， x＝﹣10，
检验：把x＝﹣10代入x（x+7）≠0， ∴x＝﹣10是此方程的解． 22．先化简，再求值：（1﹣
）•
，其中x＝2．
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值． 解：原式＝（＝＝
，
）
当x＝2时， 原式＝
＝﹣2．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝18°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．
【分析】由等腰三角形的三线合一性质求得∠DAE，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得∠ADE，则可求得∠EDC． 解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠DAE＝∠BAD＝18°， ∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣18°）＝81°， ∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣81°＝9°．
24．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． 求证：△ACD≌△CBE．
【分析】根据垂直的定义可得∠ADC＝∠E＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠B＝∠ACD，再利用“角角边”证明△ACD≌△CBE． 【解答】证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠E＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵∠B+∠BCE＝90°， ∴∠B＝∠ACD， 在△BEC和△CDA中，∴△ACD≌△CBE（AAS）．
25．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
，
【分析】（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为
圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；
②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD＝∠A，根据等角对 等边可得AD＝BD，再加上条件AE＝BE，ED＝ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．解：（1）作出∠B的平分线BD； 作出AB的中点E．
（2）证明：
∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD， 在△ADE和△BDE中∴△ADE≌△BDE（SSS）．
26．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
【分析】设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解． 解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得：解得：x＝90，
＝，
经检验得：x＝90是这个分式方程的解． x+54＝144．
答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．
27．已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF． （1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系； （2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB＝8，请直接写出线段CM的长．
【分析】（1）先连接ED，EF，DF，根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，得出△DEF是等边三角形，进而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN＝EM； （2）与（1）类似，先连接ED，EF，DF，得出△DEF是等边三角形，进而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN＝EM；
（3）分两种情况：①当M在线段CE上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，再根据条件判定△GCM∽△DEM，根据相似三角形的性质，得出
＝，再根据CE＝BC
＝4，即可得出CM＝CE＝1；②当M在线段EC延长线上时，运用同样的方法，判定△GCM∽△DEM，得出
＝，即
＝，再根据CE＝4，即可得出CM＝CE＝2．
解：（1）线段FN与线段EM的数量关系为：FN＝EM． 理由：如图1，连接ED，EF，DF， ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， ∴DE＝EF＝FD，即△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°，
又∵△DMN是等边三角形， ∴DN＝DM，∠MDN＝60°， ∴∠FDN＝∠EDM， 在△FDN和△EDM中，
，
∴△DFN≌△DEM（SAS）， ∴FN＝EM．
（2）补全图形，如图2．结论FN＝EM成立． 证明：连接ED，EF，DF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，
∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， ∴DE＝EF＝FD，即△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°，
又∵△DMN是等边三角形， ∴DN＝DM，∠MDN＝60°， ∴∠FDN＝∠EDM， 在△FDN和△EDM中，
，
∴△DFN≌△DEM（SAS）， ∴FN＝EM．
（3）分两种情况：
①如图3，当M在线段CE上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形， 由（2）可得△DFN≌△DEM， ∴△DFN与△DEM面积相等，
∵△DNF的面积是△GMC面积的9倍， ∴△DEM的面积是△GMC面积的9倍， ∵CG∥DE， ∴△GCM∽△DEM， ∴
＝
＝，
又∵CE＝BC＝×8＝4， ∴CM＝CE＝1；
②如图4，当M在线段EC延长线上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形， 同理可得△DFN≌△DEM， ∴△DFN与△DEM面积相等，
∵△DNF的面积是△GMC面积的9倍， ∴△DEM的面积是△GMC面积的9倍， ∵CG∥DE， ∴△GCM∽△DEM， ∴
＝
＝，即
＝，
又∵CE＝BC＝4， ∴CM＝CE＝2．
综上所述，CM的长为1或2．
