一元二次方程能力拔高题

一元二次方程培优专题复习

考点一、概念 (1）定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是，这样的整式方程就是一元二次方程。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．2．．．．．（2)一般表达式：axbxc0(a0)

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”:

①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2\"；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A、3x12x1 B、

2①

②

③

2112axbxc0 D C、202xx、

x22xx21

变式：当k 时，关于x的方程kx2xx3是一元二次方程。

22 例2、方程m2x针对练习: m3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为 .

★1、方程8x7的一次项系数是 ，常数项是 。

2★2、若方程m2xm10是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值： ；⑵写出关于x的一元一次方程: 。

2★★3、若方程m1xm•x1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .

★★★4、若方程nxm+xn—2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是( ）

A。m=n=2 B。m=2,n=1 C.n=2，m=1 D。m=n=1

考点二、方程的解 ⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解. ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知2yy3的值为2，则4y2y1的值为 .

22例2、关于x的一元二次方程a2xxa40的一个根为0，则a的值为 。

22

例3、已知关于x的一元二次方程axbxc0a0的系数满足acb，则此方程

2必有一根为 。

2例4、已知a,b是方程x4xm0的两个根，b,c是方程y8y5m0的两个根，

2则m的值为 。 针对练习： ★1、已知方程xkx100的一根是2,则k为 ，另一根是 。

2★2、已知关于x的方程xkx20的一个解与方程

2x13的解相同。⑴求k的值; x12⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程xx10的一个根,则代数式mm 。

2★★4、已知a是x3x10的根,则2a6a 。

22★★5、方程abxbcxca0的一个根为( ）

2

A 1 B 1 C bc D a

xy★★★6、若2x5y30,则4•32 .

考点三、解法 ⑴方法:①直接开方法;②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

2类型一、直接开方法：xmm0,xm

※※对于xam，axmbxn等形式均适用直接开方法

222典型例题： 22例1、解方程：12x80; 22516x=0； 31x90;

2例2、解关于x的方程：axb0

2例3、若9x116x2，则x的值为 .

22针对练习：下列方程无解的是（ ）

222A。x32x1 B.x20 C.2x31x D。x90

2类型二、因式分解法：xx1xx20xx1,或xx2

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

xaxbxaxc ，x22axa20 ※方程形式:如axmbxn，

22典型例题: 例1、2xx35x3的根为( ）

A x552 B x3 C x1,x23 D x 2522例2、若4xy34xy40，则4x+y的值为 。

变式1：a2b2a22b260,则a2b2 .

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。

变式3：若xxyy14，yxyx28，则x+y的值为 。

22例3、方程xx60的解为（ ）

2 A.x13，x22 B。x13，x22 C。x13，x23 D。

x12，x22

2例4、解方程： x231x2340得x1______,x2______

2例5、已知2x3xy2y0，则

2xy的值为 。 xyxy的值为 . xy变式:已知2x3xy2y0，且x0,y0，则

22针对练习： ★1、下列说法中：①方程xpxq0的二根为x1，x2,则xpxq(xx1)(xx2)

22 ② x6x8(x2)(x4)。 ③a5ab6b(a2)(a3)

222④x2y2(xy)(xy)(xy)⑤方程(3x1)270可变形为

(3x17)(3x17)0 正确的有( ）A.1个 B。2个 C。3个

D。4个

★2、以17与17为根的一元二次方程是（）

22A．x2x60 B．x2x60 C．y2y60

2D．y2y60

2★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： ★★4、若实数x、y满足xy3xy20，则x+y的值为（ ） A、—1或-2 B、—1或2 C、1或—2 D、1或2 5、方程：x212的解是 。 2x226、已知6xxy6y0，且x0，y0，求

2x6y的值。

3xy

bb24ac2类型三、配方法axbxc0a0x 22a4a※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值

之类的问题。 典型例题： 例、已知x、y为实数，求代数式xy2x4y7的最小值.

222

针对练习： 1、已知x2111x40x 。 ，则2xxx2、若t23x212x9，则t的最大值为 ，最小值为 。 类型四、公式法 bb24ac⑴条件：a0,且b4ac0 ⑵公式： x，

2a2a0,且b24ac0

典型例题： 例、选择适当方法解下列方程：

2⑴31x6. ⑵x3x68. ⑶x4x10

2

⑷3x4x10 ⑸3x13x1x12x5

2类型五、 “降次思想”的应用 ⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。 典型例题：例1、已知x223x1x21的值. 3x20,求代数式

x1例2、如果xx10，那么代数式x2x7的值。

32a32a25a1例3、已知a是一元二次方程x3x10的一根，求的值。 2a12考点四、根的判别式b24ac 根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它. 典型例题： 例1、若关于x的方程x2kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

2例2、关于x的方程m1x2mxm0有实数根，则m的取值范围是（ )

2 A。m0且m1 B.m0 C。m1 D.m1 例3、已知关于x的方程xk2x2k0

2（1)求证:无论k取何值时，方程总有实数根;（2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长.

例4、已知二次三项式9x(m6)xm2是一个完全平方式，试求m的值。

2x22y26,例5、m为何值时，方程组

mxy3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解? 针对练习： 1、当k 时，关于x的二次三项式xkx9是完全平方式。

22、当k取何值时，多项式3x4x2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

23、已知方程mxmx20有两个不相等的实数根，则m的值是 .

24、k为何值时,方程组ykx2,y4x2y10.2（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）

有两组不相等的实数解；（3）没有实数解。

5、当k取何值时，方程x4mx4x3m2m4k0的根与m均为有理数?

22（2012山东德州中考，15,4,）若关于x的方程ax2(a2)xa0有实数解，那么实数a的取值范围是_____________．

（2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x的一元二次方程kx2－2k1x＋1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是

A．k＜

2111111B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0 222222考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题: 例1、关于x的方程m1x2mx30⑴有两个实数根，则m为 ,⑵只有

2一个根，则m为 。

例2、不解方程,判断关于x的方程x2xkk3根的情况。

22例3、如果关于x的方程xkx20及方程xx2k0均有实数根，问这两方程

22是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有,请说明理由。

考点六、应用解答题 ⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题；⑷“最值\"型问题;⑸“图表\"类问题 典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少少

1，第三年比第二年减31，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收21回,还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结

3果精确到0。1，133.61）

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：

（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少?

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能,求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。(3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B两地间的路程为36千米。甲从A地，乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

考点七、根与系数的关系 ⑴前提:对于axbxc0而言,当满足①a0、②0时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：x1x22bc,x1x2 常用变形： aax12x22(x1x2)22x1x211x1x222， (x1x2)(x1x2)4x1x2， x1x2x1x2|x1x2|(x1x2)24x1x2， x1x22x12x2x1x2(x1x2)，

x2x1x12x22(x1x2)24x1x2 等 x1x2x1x2x1x2

⑶应用:整体代入求值. 典型例题： 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x8x70的两根，则这个直角三

2角形的斜边是（ ） A.3 B.3 C.6 D。6

x2y210,xy10,(2)例2、解方程组：(1)

xy24;xy2.例3、已知关于x的方程kx2k1x10有两个不相等的实数根x1,x2,（1）求k

22的取值范围;（2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不

存在,请说明理由。

例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时,小明因看错常数项,而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为—9和-1.你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例5、已知ab,a2a10，b2b10,求ab

22变式：若a2a10,b2b10，则

22ab的值为 。 ba42例6、已知,是方程xx10的两个根,那么3 .

针对练习1．已知a7a4，b7b4(ab)，求

2232ba的值。2、已知x1,x2ab2是方程xx90的两实数根，求x17x23x266的值。

23。(湖北中考题）设a2a10,b2b10，且1ab0，则

242ab2b23a1=________。

a4。 （ 四川中考题）如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1,x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2

＝q．请根据以上结论,解决下列问题:

(1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 （n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2)已知a、b满足a2－15a－5＝0,b2－15b－5＝0,求已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0,abc＝16，求正数c的最小值．

1。当k为何值时，关于x的方程 k1xk1x20有实数根

225ab＋的值；（3）ba

2。已知方程2x 3设x求：

3aabxabab0是关于x的一元二次方程，求a，b的值

3x100和x3b4bx80都是关于x的一元二次方程，

ab.2012ab2013的值。

4解下列方程： （1)2x

(3）3xx55x5 （4)xx20

22112x50 （2）3x6x20

222

5已知方程2x4m1xm2m 求证：不论m为何值，次方程均有两个不相等的

22实根.

6已知三个关于x的一元二次方程axbxc0 bxcxa0 cxaxb0222a2b2c2恰有一个公共实数根，求的值。 bcacab

ab2b212427 已知a2a10 b2b10 试求a2012的值。

8关于x的方程x(k1)x20和方程x2xk(k1)0只有一个相同的实根，求k的值及公共根.

9已知a。b.c分别是三角形ABC的三边长.当m>0时，关于x的一元二次方程

22cx2mbx2m2max0有两个不相等的实根，试判断三角形ABC的形状。

10已知方程x5x60与方程2x2xm0的公共根和方程3xx240与方程

211 m，n是方程x2x10的两个根，且7m14ma3n6n712求a的值。

222121xxn0的公共根相同，求m，n的值。 2222

12 甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3和5 。乙把常数项看错了得两根为2

6和26，求原一元二次方程。

13 已知关于x的方程x2(m2)x3m10 （1)求证无论m为何值，方程总有两个不相等的实根 （2）设方程的两根为x1,x2 ，x1x223求m的值。

14 要使关于x的一元二次方程x求m的值。

15 已知函数y=

2222(m2)x3m210的两根的平方和最小，

2和y=kx+1（x≠0） x（1）若这两个函数都经过（1，a)求a和k的值 （2）当k取何值时，这两个函数图像总有公共点

16 某商店销售一批名牌衬衫,平均每天可以销售20件,每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价1元则每天可以多销售2件，若商场平均每天盈利1200元，则每件应该降价多少元？

17为实现房地产，使“居者有其屋\"市加快了廉租房的建设力度。从2010年起，市开始投资,以后逐年增长,2011年投资了3亿元人民币.预计2012年底三年累计共投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同,求市投资的年增长率？

18 某商家从厂家以每件21元价格购进一批商品，该商家可自行定价。若每件商品售价a元，则可卖出（350-10a）件,但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20％。商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品？每件商品售价多少？

一元二次方程培优训练

1。已知方程3ax—bx-1=0和ax+2bx—5=0,有共同的根—1, 则a= , b= 。 2．关于x的方程(m3)xm222

1x30是一元二次方程，则m ；

22223.设a,b是一个直角三角形两条直角边的长,且(ab)(ab1)12,则这个直角三角形的斜边长为 ； 4。 当x_______时,代数式x211x的值为0 2225。 已知：m12，则关于x的二次方程(m1)x(m5)x40的解

是 ；

26． 方程(23)xx的解是 ；

7。若一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有一个根为1,则a+b+c= ；若有一个根为-1,则b 与a、c之间的关系为 ；若有一个根为零,则c= 。 8、

2

3x4y26y90则xy=

9、写出以4，—5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是

210、如果x2m1x4是一个完全平方公式，则m 。

11、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。

12、当m____时,关于x的方程m1xm1x20为一元二次方程.

2213．写出一个一元二次方程，使它的一个根为2 ． 14．当x= 时，代数式x24x的值与代数式2x3的值相等． 15、方程2x3x0的根是 .

216、用配方法解方程x4x60,则x4x___6___，所以

22x1___,x2____。

17.要使关于x的一元二次方程x求m的值。

7、下列方程是一元二次方程的是( ）

21x20 A、x2y1 B、2xx12x3 C、 D、3x4222(m2)x3m210的两根的平方和最小，

x8、关于x的一元二次方程xk0有实数根,则( ）

A、k＜0 B、k＞0 C、k≥0 D、k≤0

29、将方程x2x30化为xmn的形式，指出m,n分别是( ）

22 A、1和3 B、1和3 C、1和4 D、1和4

10、方程x(x1)(x2)0的解是 ; 11、当y= 时,y-2y的值为3；

12、已知方程x+kx+3=0 的一个根是 - 1,则k= ____, 另一根为 ____； 13、写出以4，－5为根且二次项系数为1的一元二次方程是 _； 14、某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x,则可列方程___________________;

15、设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(ab)(ab1)12,则这个直角三角形的斜边长为 ； 三部分

22222

2

1。方程不一定是一元二次方程的是 ( ） A。(a—3)x=8 （a≠0） B。ax+bx+c=0 C.（x+3)（x-2)=x+5 D.3x2、若关于x的一元二次方程

22

2

3x20 57a1x2xa210的一个根是0,则a的值是

1 22（ ） A、 1 B、 -1 C 、 1或-1 D、

23、把方程x8x30化成xmn的形式，则m、n的值是( ） A、4，13 B、-4，19 C、—4，13 D、4,19

4、已知直角三角形的两条边长分别是方程x14x480的两个根，则此三角形的第三边是（ )

2A、6或8 B、 10或27 C、 10或8 D、 27

5. 关于x的方程(aa2)xaxb0是一元二次方程的条件是———-（ ） A a1 B a2 C a1且a2 D a1或 a2 6等腰三角形的两边的长是方程x20x910的两个根，则此三角形周长为 A。 27 B。 33 C。 27和33 D。 以上都不对

7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 （ )

A．x（x＋1）＝1035 B．x(x－1)＝1035×2C．x（x－1)＝1035 D．2x（x＋1)＝1035 8. 一元二次方程2x（x－3）＝5（x－3)的根为 （ ）

A．x＝错误! B．x＝3 C．x1＝3，x2＝错误! D．x＝－错误!

2229。已知x5xy6y0，则y:x等于（ ） A。

22111或1 B.6或1 C. 或 D。 2或3 632x25x69.使分式 的值等于零的x是 （ )

x1A。6 B。—1或6 C.-1 D.—6

10方程x-4│x│+3=0的解是 （ ） A。x=±1或x=±3 B。x=1和x=3 C。x=-1或x=—3 D。无实数根 11.关于x的方程x—k—16=0和x-3k+12=0有相同的实数根, k的值是 （ ） A.-7 B。-7或4 C.—4 D。4 12、请判别下列哪个方程是一元二次方程（ )

2

2

2

2

A、x2y1 B、x50 C、2x2238 D、3x86x2 x13、请检验下列各数哪个为方程x6x80的解( ）

A、5 B、2 C、8 D、2 14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是( ） A、若x4,则x2； B、若3x6x,则x2；

C、xxk0的一个根是1，则k2； D、若分式222x2的值为零，则x2. 2x3x222 15、如果xbx16x4，则b的值为（ ）

A、4 B、4 C、8 D、8

2 16、将方程x2x30化为xmn的形式，指出m,n分别是（ )

2 A、1和3 B、1和3 C、1和4 D、1和4

2 17、已知一元二次方程mxn0m0，若方程有解，则必须（ ） A、n0 B、mn同号 C、n是m的整数倍 D、mn异号

的值为（ ） 18、若a为方程xx50的解，则aa1 A、12 B、6 C、9 D、16

19、某超市一月份的营业额为200万元,三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增

长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A、10% B、15% C、20% D、25%

22三、解一元二次方程

（1） x (2x - 7) = 2x （2）x 2 —2x +4 =0

(3）y23y1 （4） 2y+7y—3=0

222

（5）3x2120 （7)x22x40

（6）(y2)29 (8）x(x7)5x36

(9） 4x270 （10) 3x22x （11)y23y1 (12） x24x20

22（13）2x24x50 (14）

3x23x2x



（15）(3x2)25(3x2)40 （16）

x(x1)(x1)(x2) 13418、试证明关于x的方程(a8a20)x2ax10无论a取何值，该方程都是一元二次方程；

19、有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x的周长.

20、已知x3xy4y0(y0)，求

21．已知关于x的方程(a2a)x2axa210 （1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程；

(3）当该方程有两个实根,其中一根为0时，求a的值．

222224xk0的两根，求这个三角形

xy的值。 xy

22．如图,在△ABC中，∠B=90度，AB=6cm,BC=12cm，

点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC 边向C点以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后, △PBQ的面积等于8cm2．

C Q 12cm

A P 6cm B