常州市初中数学二次函数经典测试题附答案

一、选择题

1．若二次函数yax22axc的图象经过点（﹣1，0），则方程ax22axc0的解为（ ）

A．x13，x21 B．x11，x23 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

∵二次函数yax2axc的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax22axc0一定有

2一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数yax2axc的图象

2C．x11，x23 D．x13，x21

与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax22axc0的解为：x11，x23． 故选C．

考点：抛物线与x轴的交点．

2．要将抛物线y=x2平移后得到抛物线yx22x3，下列平移方法正确的是（ ） A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】

原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】

y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），

则平移的方法可以是：将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A． 【点睛】

此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．

3．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）

A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2 C．3 D．4

根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解． 【详解】

∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴 ∴a>0,c<0

∵抛物线的对称轴为直线x=－∴b<0

∴abc＞0；①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0，

即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m）， 4acb2 =m， ∴

4ab=1 2a∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，

∴一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C． 【点睛】

考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．

4．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，DCBC，DC4cm，BC6cm，

AD3cm ，动点P，Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿折线BAADDC运动到点C，点Q以1cm/s的速度沿BC运动到点C，设P，Q同时出发ts时，BPQ的面积为y cm，则y与t的函数图象大致是( )

2

A． B．

C． D．

【答案】B 【解析】 【分析】

分三种情况求出y与t的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项． 【详解】

解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，

AB2=42+（6-3）2， 解得，AB=5cm． 下面分三种情况讨论:

tg2tg当0≤t≤2.5时：P点由B到A，yg当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时，y=

124542t,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2; 51t42t, y是t的一次函数且最大值21448cm2; 2y当4≤t≤6时，即P点从D到C时， 故符合y与t的函数图象是B． 故选：B． 【点睛】

1t122tt26t,y是t的二次函数 2此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.

5．如图,二次函数yax2bxc的图象如图所示,则一次函数yaxc和反比例函数

yb在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） x

A． B． C． D．

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点， ∴c=0，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴左侧， ∴a，b同号， ∴b＜0，

∴一次函数y=ax+c，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=故选D． 【点睛】

b图象分布在第二、四象限， x此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．

6．二次函数yax2bxc(a,b,c为常数，且a0)中的x与y的部分对应值如表：

x ··· ··· 1 1 0 1 3 3 ··· ··· y 3 5 下列结论错误的是( ) A．ac0 的一个根；

C．当x1时，y的值随x值的增大而减小； D．当-1B．3是关于x的方程axb1xc02ax2b1xc0.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】

解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知： 当x1时，y1，即abc1， 当x0时，y3，即c3， 当x1时，y5，即abc5，

abc1联立以上方程：c3，

abc5a1解得：b3，

c3∴yx3x3；

A、ac1330，故本选项正确；

B、方程axb1xc0可化为x22x30，

22将x3代入得：322339630，

∴3是关于x的方程axb1xc0的一个根,故本选项正确；

2C、yx23x3化为顶点式得：y(x)32221， 4∵a10，则抛物线的开口向下，

33时，y的值随x值的增大而减小；当x时，y的值随x值的增大而增大；22故本选项错误；

∴当xD、不等式axb1xc0可化为x22x30，令yx22x3，

2由二次函数的图象可得：当y0时，-1本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）

A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴x=﹣【详解】

①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确； ②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确； ③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误； ④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣

＝1＞0，∴b＜0，

＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象.

∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有3个， 故选：C． 【点睛】

此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.

8．如图是函数yx22x3(0x4)的图象，直线l//x轴且过点(0,m)，将该函数

在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）

A．m1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．m0 C．0m1 D．m1或m0

找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知. 【详解】

解：如图1所示，当t等于0时， ∵y(x1)4， ∴顶点坐标为(1,4)， 当x0时，y3， ∴A(0,3)， 当x4时，y5， ∴C(4,5)， ∴当m0时，

2D(4,5)，

∴此时最大值为0，最小值为5； 如图2所示，当m1时， 此时最小值为4，最大值为1． 综上所述：0m1， 故选：C．

【点睛】

此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．

9．如图是二次函数yax2bxc的图象，有下面四个结论：①abc0；

②abc0； ③2a3b0；④c4b0，其中正确的结论是( )

A．①② 【答案】D 【解析】 【分析】

B．①②③ C． ①③④ D． ①②④

b0得到b0，根据抛物线与y轴2a的交点在x轴下方得到c0，所以abc0；x1时，由图像可知此时y0，所以

根据抛物线开口方向得到a0，根据对称轴xabc0；由对称轴xb1，可得2a3b0；当x2时，由图像可知此时2a3y0，即4a2bc0，将2a3b代入可得c4b0.

【详解】

①根据抛物线开口方向得到a0，根据对称轴xb0得到b0，根据抛物线与y2a轴的交点在x轴下方得到c0，所以abc0，故①正确. ②x1时，由图像可知此时y0，即abc0，故②正确.

b1，可得2a3b0，所以2a3b0错误，故③错误； 2a3④当x2时，由图像可知此时y0，即4a2bc0，将③中2a3b0变形为

③由对称轴x2a3b，代入可得c4b0，故④正确. 故答案选D. 【点睛】

本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．

A．4个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．3个 C．2个 D．1个

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】

解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;

由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误． 故选：C． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

11．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）

A．5 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

B．45 3C．3 D．4

过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，

∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA， ∴BF∥DE∥CM． ∵OD=AD=3，DE⊥OA， ∴OE=EA=

1OA=2． 2由勾股定理得：DE=5．

设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x， ∵BF∥DE∥CM，

∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．

BFxCM2xBFOFCMAM ， ， ∴，即，解得：

2DEOEDEAE525BF52x5． ?x，CM 22∴BF+CM=5． 故选A．

12．如图是二次函数yax2bxc的图象，其对称轴为x1.下列结论：①abc0；②2ab0；③9a3bc0；④若310,y1,,y2是抛物线上两点，则23y1y2.其中正确的结论有（ ）

A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

由抛物线开口方向得到a＜0，根据对称轴得到b=-2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；由b=-2a可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断． 【详解】

解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

b1 ，∴b=-2a＞0， 2a∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∵抛物线的对称轴为直线x∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误； ∵b=-2a，

∴2a+b=0，所以②正确；

∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=3时，y=0，

∴9a3bc0，所以③错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下， ∴当x1时，y随x的增大而增大 ∵1031 3210,y2 对称轴的距离近， 33,y1 到对称轴的距离比点2∴y1y2，所以④正确．

点故选B． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开

口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

13．如图，已知A4,1，线段AB与x轴平行，且AB2，抛物线yx2mxn经过点C0,3和D3,0，若线段AB以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）.若抛物线与线段AB有公共点，则t的取值范围是（ ）

A．0t10 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2t10 C．2t8 D．2t10

直接利用待定系数法求出二次函数，得出B点坐标，分别得出当抛物线l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围； 【详解】

解：（1）把点C（0，3）和D（3，0）的坐标代入y=-x2+mx+n中，

n3得，2

33mn0n3解得

m2∴抛物线l解析式为y=-x2+2x+3，

设点B的坐标为（-2，-1-2t），点A的坐标为（-4，-1-2t）， 当抛物线l经过点B时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5， 当抛物线l经过点A时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21， 当抛物线l与线段AB总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5， 解得：2≤t≤10． 故应选B 【点睛】

此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t的不等式是解题关键．

14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（ ）

A．﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】

B．﹣23 C．﹣33 D．﹣43

bb2bb2根据已知求出B（﹣），由△AOB为等边三角形，得到＝tan60°×（﹣），,2a4a2a4a即可求解； 【详解】

解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O， ∴c＝0，

bb2B（﹣）， ,2a4a∵△AOB为等边三角形，

bb2∴＝tan60°×（﹣），

2a4a∴b＝﹣23； 故选B． 【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．

15．抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示： x y … … –2 0 –1 4 0 6 1 6 2 4 … … 从上表可知，下列说法错误的是

A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2，0) B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6) C．抛物线的对称轴是直线x=0 【答案】C

D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的

【解析】 【分析】 【详解】

解：当x=-2时，y=0， ∴抛物线过（-2，0），

∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），故A正确； 当x=0时，y=6，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确； 当x=0和x=1时，y=6， ∴对称轴为x=当x＜

1，故C错误； 21时，y随x的增大而增大， 2∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确； 故选C．

16．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C 【解析】

试题解析：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣

b＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． 2aB、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣

b位于y轴的右侧，故符合题意， 2aD、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，

图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选C．

考点：二次函数的图象；一次函数的图象．

17．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【答案】C 【解析】 【分析】

首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定. 【详解】 ∵抛物线y=x2+2x， ∴x=-1，

而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3）， ∴B离对称轴最近，A次之，C最远， ∴y2＜y1＜y3． 故选:C． 【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

18．已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ） A．（1，-5） 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

解：yx2mx4=(xm)m4，∴点M（m，﹣m2﹣4），∴点M′（﹣m，m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）． 故选C． 【点睛】

本题考查二次函数的性质．

222B．（3，-13） C．（2，-8） D．（4，-20）

19．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y＝ax+hk的图象经第几象限（ ）

A．一、二、三 【答案】D 【解析】 【分析】

B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四

根据二次函数的图象和性质可得a＜0，h＜0，k＞0，以此判断一次函数的图象所经过的象限即可． 【详解】

解：由函数图象可知，

y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0， ∴直线y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0， ∴直线y＝ax+hk经过第二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】

本题考查了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关键．

20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结i论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（ ）

A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据x＝﹣1函数值可以判断． 【详解】

解：Q抛物线开口向下，

a0，

Q对称轴xb1， 2ab0，

Q抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

c0，

abc0，故①错误；

Q抛物线与x轴有两个交点，

b24ac0，故②正确；

Q对称轴x2ab，

b1， 2a2ab0，故③正确；

根据图象可知，当x1时，yabc0，故④正确； 故选：C． 【点睛】

此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．