统计学常用公式

1. 众数【MODE】

（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算

未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。

（2） 组距分组数据众数的计算

对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。

1i1+2

下限公式：

M0=L+式中：M0表示众数；L表示众数的下线；1表示众数组次数与上一组次数之差；2表示众数组次数与下一组次数之差；i表示众数组的组距。

2i1+2

上限公式：

M0=U-式中：U表示众数组的上限。

2．中位数【MEDIAN】

（1）未分组数据中中位数的计算

- 考试资料

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为X1，X2，…，XN，中位数Me，为则有：

Me=X（N+1）2 当N为奇数

1Me=XN+XN2+122 当N为偶数

（2）分组数据中位数的计算

分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：

Nfi=1i

Me=L+2-Sm-1fmd

式中：Me表示中位数；L表示中位数所在组的下限；Sm-1表示中位数所在组以下各组的累计次数；

fm表示中位数所在组的次数；d表示中位数所在组的组距。

3．均值的计算【AVERAGE】

（1）未经分组均值的计算

nx1+x2+…xnx==i1nn未经分组数据均值的计算公式为：

xi

- 考试资料

（2）分组数据均值计算

分组数据均值的计算公式为：

x1f1+x2f2++xkfkx==i1kf1f2++fkkxifiifi1

4．几何平均数【GEOMEAN】

几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：

G=nx1x2…xn=nxi-1ni

式中：G表示几何平均数；表示连乘符号。

5．调和平均数【HARMEAN】

调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。

简单调和平均数：

- 考试资料

H=n111++…+x1x2xn=n1i1xin

加权调和平均数：

mim1+m2+…+mn1H==inmm1m2m++…+nix1x2xni1xin

式中：H表示调和平均数。

6．极差【Range】

极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即

R=maxxi-minxi

i式中：R表示极差；

maxxi和minx分别表示一组数据的最大值与最小值。

7．平均差【Mean Deviation】

平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

（1） 根据未分组资料的计算公式：

AD=x-xi1inn

- 考试资料

AD=x-xi1infi（2） 根据分组资料的计算公式：

fi1ni

式中：AD表示平均差

8．方差【Variance】和标准差【Standard Deviation】

方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。

未分组数据方差的计算公式为：

2xxi1n2n

2i1nxix2fi分组数据方差的计算公式为：

fi1ni

2

式中：表示方差。

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：

未分组数据：

xxi1n2n i1nxix2fi分组数据：

fi1ni - 考试资料

式中：表示标准差。

9．离散系数

离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。

x

其计算公式为：

V式中：V表示离散系数。

10．偏态【SKEW】

偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。

3xi-xn-1n-2i1sEXCEL中偏态系数的计算公式为：

nn11．峰值【KURT】

EXCEL中峰值系数的计算公式为：

42nnn13n1xi-xn1n2n3sn1n3i1

式中：s 表示样本标准差。

- 考试资料

公式二

1． 均值估计

（1）样本均值的标准差

样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。

样本均值的抽样平均误差计算公式为：

重复抽样方式：

x2nn 不重复抽样方式：

x2NnnN1 通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：

x2n1nN 在公式中，是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。

（2）大样本均值的极限误差 xZ2x

（3）大样本下总体均值的区间估计

- 考试资料

总体均值的置信度为（1）的置信区间：

xz2xxz2x

即

nxz2xz2n （4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计

总体均值的置信度为（1）的置信区间：

xt2xxt2x

即

ssxt2nn

xt22．比例估计

（1）样本比例的抽样平均误差

样本比例的抽样平均误差为：

重复抽样下：

pp1pn - 考试资料

上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p代替。

不重复抽样下：

pp1pNnnN1p1pn1nN （2）样本比例的抽样极限误差

PZ2p

（3）总体比率的区间估计

总体比例P的置信度为（1）的置信区间为：

pPppP

即

pZ2pppZ2p

3． 总体均值检验

（1） 单一总体均值检验

①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验 - 考试资料

检验统计量Z为：

Zx0n

②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验 检验统计量t为：

x0snt （2） 两个总体的均值检验

①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本 Z检验统计量为：

x1x2-12Z12n122n2 大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。

②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等 T检验统计量为：

x1x2-12Z- 考试资料

sp11n1n2

spn11s12n21s22n1n22 21n11n222s1xix1s2xix2n1n1i1i112其中： ；

24． 总体比例检验

（1） 单一总体的比例检验

pp0p01p0n

ZZ检验统计量：

（2） 两个总体比例的检验

检验的统计量为：

ˆ1pˆ2pˆ1pˆpˆ1pˆpn1n2Z

其中：

ˆpˆ1n2pˆ2n1pn1n2，pˆ为当p1p2时p1和p2的联合估计值。

5． 总体方差假设检验

（1） 单一正态总体方差的假设检验

- 考试资料

检验统计量为：

n1s2220

其中：

s2xi1nix2n1为的估计量。

2

（2） 两个正态总体的方差假设检验

检验统计量为：

2Fs12s2

其中：

s21i1n1xix2n11；

s22i1n2xix2n21。

公式三

1.单因素方差分析

设总体共分为k种处理进行观察，第j种处理试验了容量为j的样本。

n（1） 计算各项离差平方和

在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。

总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total ）代表：

- 考试资料

SSTxijxi1j1njk

2式中：x表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为：

xxnij

误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表：

SSExijxji1j1njk2

nj

式中：表示第j种水平的样本均值，

xjxj

x

i1

ij

nj

水平项离差平方和。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。于是水平项离差平方和可以用SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。

2SSA的计算公式为：

SSAxjxi1j1njk

（2） 计算平均平方

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（n-1）；对SSA来说，其自由度为（r-1），这里r表示水平的个数；对SSE来说，其自由度为（n-r）。与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：

- 考试资料

n-1=（r-1）+（n-r）

SSAr1

对于SSA，其平均平方MSA（组间均方差）为：

MSA对于SSE，其平均平方MSE（组内均方差）为：

MSAMSE

MSESSEnr

（3） 检验统计量F

F2．两因素方差分析

设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。

（1） 计算各项离差平方和

在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A、B项离差平方和。

总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total）代表：

SSTxijx

2式中：x表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为：

1nkxxijnki1j1

水平项离差平方和可以分别用SSA（Sum of Squares for Factor A）和SSB（Sum of Squares for Factor B）表示。

- 考试资料

SSA的计算公式为：

SSAx•jxi1j1nk

21nx•jxijni1 式中：

SSB的计算公式为：

SSBxi•xi1j1nk

2式中：

1kxi•xijkj1

误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表：

SSExijxi•x•jxi1j1nk

2（2） 计算平均平方

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（nk-1）；对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：

SSESSASSBMSEMSAMSBk1n1 k1 n1

- 考试资料

（3） 检验统计量F

MSAMSBF(B)MSE MSE

F(A)公式四

1．拟合优度的检验统计量：

2i1kfifefe2

式中：fi表示类别i的观察频数；fe表示假设H0为真时，类别i的期望频数；k表示类别总数。

2注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的分布。

- 考试资料