2017-2018学年浙江省杭州市萧山区八年级(上)期末数学试卷

2017-2018 学年浙江省杭州市萧山区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．（ 3 分）下列微信、 QQ、网易 C、易信四个聊天软件的图标中， 是轴对称图形的是 （

）

A ． B ． C． D．

）

D．≤

2．（ 3 分）用不等号连接“ （ a﹣b） （

A ．＞

B ．＜

2

） 0”，应选用（

C．≥

3．（ 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝90°，点 D ，E 是 BC 上两点，连接

AD ， AE，则

图中钝角三角形共有（ ）

A ．1 个

4．（ 3 分）正比例函数

A ．﹣ 3

B ．2 个

C． 3 个 D． 4 个 k 的值可以为（

D． 3

y＝ kx 的图象经过二、四象限，则比例系数

B ．0

）

C． 1

5．（ 3 分）点（ 6， 3）先向下平移 5 个单位，再向左平移 3 个单位后的坐标为（

A ．（ 1， 0）

B ．（3， 8）

）

C．（ 9，﹣ 2） D．（ 3，﹣ 2）

6．（ 3 分）在平面直角坐标系中，已知点

轴上可表示为（

）

P（ t， 2﹣t）在第二象限，则 t 的取值范围在数

A ． B．

C． D．

7．（ 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ BAC＝ 120°，点 D 是 BC 上一点， BD 的垂直平分线交

AB 于点 E，将△ ACD 沿 AD 折叠，点

C 恰好与点 E 重合，则∠ B 等于（

）

第 1 页（共 20 页）

A ．18°

B ．20° C． 25° D． 28°

② 腰上

8．（ 3 分）给出下列命题： ① 两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；

的高线和底边对应相等的两个等腰三角形全等；

③ 斜边上的中线及一锐角对应相等的两 ） C． ②③

D． ①②③

个直角三角形全等．其中属于真命题的是（

A ．①②

B ．①③

9．（ 3 分）如图， 在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，∠BAC＝ 30°，在△ ADC 中，∠ ADC ＝ 90°，

∠ DAC＝ 45°，连接 BD ，则∠ ADB 等于（

）

A ．60°

B ．70° C． 75° D． 80°

10．（ 3 分）已知

a+b＝2， b≤ 2a，那么对于一次函数 y＝ ax+b，给出下列结论： ① 函数 y

一定随 x 的增大而增大； ② 此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为

，则下列

判断正确的是（

）

B． ① 错误， ② 正确 D． ① ，② 都错误

A ．① 正确， ② 错误

C．① ， ② 都正确

二、填空题（本大题共

6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（ 3 分）如图，规定列号写在前面，行号写在后面，如用数对的方法，棋盘中“帅”与

“卒”的位置可分别表示为（

e， 4）和（ g， 3），则“炮”的位置可表示为 ．

12．（ 3 分）已知 x＞ y，且（ m﹣ 2） x＜（ m﹣ 2） y，则 m 的取值范围是

．

第 2 页（共 20 页）

13．（ 3 分）如图，点

D ，E，F 分别是△ ABC 三条边的中点，设△

．

ABC 的面积为 S，则四边

形 CDEF 的面积为

14．（3 分）若 A（ x1， y1），B（ x2， y2）是一次函数 y＝（ a+1 ）x﹣ 2 图象上不同的两点，记

m＝（ x1﹣ x2）（y1﹣ y2），则当 m＜0 时， a 的取值范围是

15．（ 3 分）已知直线

．

l 1：y＝﹣ 2x+4 与直线 l2：y＝ kx+b（ k≠ 0）相交于点 M，且直线 l2 与 x

轴的交点为 A（﹣ 2， 0）．

（ 1）若点 M 的坐标为（ 1，2），则 k 的值为

； ．

（ 2）若点 M 在第一象限，则

k 的取值范围是

16．（ 3 分）在△ ABC 中， AB＝ 11， AC＝ 13，

（ 1）若△ ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形，则△

ABC 的周长为

．

；

（ 2）若△ ABC 的面积为 66，则△ ABC 的周长为

三、解答题（本大题共

7 小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）

17．（ 6 分）解不等式（组） ： ，并写出它的整数解．

18．（ 6 分）已知 y 是关于 x 的一次函数，下列表列出了部分对应值：

x y

﹣ 2 ﹣ 3

﹣ 1 ﹣ 1

0 m

1 3

a 5

求此一次函数的表达式及

a， m 的值．

α和线段 a，用直尺和圆规作等腰△

ABC，使底角∠ B＝∠ α，底边

19．（ 7 分）如图，已知∠

BC＝ a，（不写作法，保留作图痕迹）

20．（ 7 分）已知三条线段的长分别为

a， a+1， a+2 ．

（ 1）当 a＝ 3 时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．

（ 2）若这三条线段可以组成一个三角形，求

a 的取值范围．

第 3 页（共 20 页）

21．（ 8 分）如图，平面直角坐标系内有一△

ABC ，且点 A（ 2， 4）， B（ 1， 1）， C（ 4， 2）．

（ 1）画出△ ABC 向下平移 5 个单位后的△ A1B1C1；

（ 2）画出△ A1B1C1 先向左平移 5 个单位再作关于 A2， B2 的坐标．

x 轴对称的△ A2B2C2 ，并直接写出点

22．（ 8 分）如图 ① ，公路上有 A， B，C 三个车站，一辆汽车从 A

站，到达 B 站后不停留，以速度 x（小时）之间的函数图象如图 （ 1）求 v1， v2 的值；

站以速度 v1 匀速驶向 B y（千米）与行驶时间

v2 匀速驶向 C 站，汽车行驶路程 ② 所示．

（ 2）若汽车在某一段路程内刚好用 50 分钟行驶了 60 千米，求这段路程开始时 x 的值；

（ 3）设汽车距离 B 的路程为 S（千米），请直接写出

S 关于 x 之间的函数表达式．

23．（ 10 分）如图 1，△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形， M ，N 分别是 BE，CD 的中点，易证： CD ＝BE，△ AMN 为等边三角形．

（ 1）当△ ADE 绕点 A 旋转至如图 2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（ 2）若 AB＝ 2AE，且当△ ADE 绕点 A 旋转至图 3 位置时，即点 E 恰好在 AC 上时，试求△ ADE，△ ABC，△ AMN 的面积之比．

第 4 页（共 20 页）

第 5 页（共 20 页）

2017-2018 学年浙江省杭州市萧山区八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共

10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．（ 3 分）下列微信、 QQ、网易 C、易信四个聊天软件的图标中， 是轴对称图形的是 （ ）

A ． B ． C． D．

【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】 解： A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项符合题意；

D 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选： C．

【点评】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．（ 3 分）用不等号连接“ （ a﹣b） （

A ．＞

2

） 0”，应选用（

C．≥

）

D．≤

B ．＜

【分析】 根据偶次幂比较大小，

2

【解答】 解：（ a﹣ b） ≥ 0．

【点评】 考查了非负数的性质：偶次方．偶次方具有非负性．

3．（ 3 分）如图，在△

ABC 中，∠ ACB＝90°，点 D ，E 是 BC 上两点，连接

）

AD ， AE，则

图中钝角三角形共有（

A ．1 个

B ．2 个 C． 3 个 D． 4 个

【分析】 依据三角形外角性质，即可得到∠ 进而得出结论．

AED＞ 90°，∠ AEB＞ 90°，∠ ADB ＞90°，

第 6 页（共 20 页）

【解答】 解：∵∠ AED 是△ ACE 的外角，∠ ACB＝90°，

∴∠ AED＞ 90°，∠ AEB＞ 90°，

∵∠ ADB 是△ ACD 的外角，

∴∠ ADB＞ 90°，

∴图中钝角三角形共有

3 个：△ ADE，△ ABD ，△ ABE．

故选： C．

【点评】 本题主要考查了三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形的一个外角大于

和它不相邻的任何一个内角．

4．（ 3 分）正比例函数 y＝ kx 的图象经过二、四象限，则比例系数

k 的值可以为（

D． 3

）

A ．﹣ 3

B ．0 C． 1

k＜0．

【分析】 首先根据 y＝ kx 的图象经过二、四象限，确定

【解答】 解：∵ y＝ kx 的图象经过二、四象限，

∴ k＜ 0，

故选： A．

【点评】 此题考查了正比例函数． 关键是根据 y＝ kx 的图象经过二、 四象限， 确定 k＜ 0．

5．（ 3 分）点（ 6， 3）先向下平移 5 个单位，再向左平移

3 个单位后的坐标为（

D．（ 3，﹣ 2）

）

A ．（ 1， 0）

B ．（3， 8） C．（ 9，﹣ 2）

【分析】 让（ 6， 3）的横坐标减 3，纵坐标减 5 即可得到平移后点的坐标．

【解答】 解：点（ 6，3）先向下平移 5 个单位，再向左平移

3 个单位后的坐标为（ 6﹣ 3，

3﹣ 5），即（ 3，﹣ 2），

故选： D ．

【点评】 本题主要考查坐标与图形变化﹣平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横

坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．

6．（ 3 分）在平面直角坐标系中，已知点

P（ t， 2﹣t）在第二象限，则 t 的取值范围在数

轴上可表示为（

）

A ．

B．

C．

D．

第 7 页（共 20 页）

【分析】 由 P 为第二象限点求出

a 的范围，表示在数轴上即可．

【解答】 解：∵点 P（

t， 2﹣ t）在第二象限，

∴

，

解得： t＜ 0，

表示在数轴上，如图所示：

，

故选： B．

【点评】 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．（ 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ BAC＝ 120°，点 D 是 BC 上一点， BD 的垂直平分线交

AB 于点 E，将△ ACD 沿 AD 折叠，点

C 恰好与点 E 重合，则∠ B 等于（ ）

A ．18°

B ．20° C． 25° D． 28°

【分析】根据折叠的性质得出∠ C＝∠ AED ，再利用线段垂直平分线的性质得出 BE＝ DE，进而得出∠ B＝∠ EDB ，进而得出∠ C＝ 2∠ B，利用三角形内角和解答即可．【解答】 解：∵将△ ACD 沿 AD 折叠，点 C 恰好与点 E 重合，

∴∠ C＝∠ AED，

∵ BD 的垂直平分线交 AB 于点 E，

∴ BE＝ DE ，

∴∠ B＝∠ EDB，

∴∠ C＝∠ AED＝∠ B+∠ EDB ＝ 2∠ B，

在△ ABC 中，∠ B+∠ C+∠ BAC＝∠ B+2∠ B+120 °＝ 180°，

解得：∠ B＝ 20°，

故选： B．

【点评】 本题考查了折叠的性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性

质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

第 8 页（共 20 页）

8．（ 3 分）给出下列命题： ① 两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；

② 腰上

的高线和底边对应相等的两个等腰三角形全等；

③ 斜边上的中线及一锐角对应相等的两 ） C． ②③

D． ①②③

个直角三角形全等．其中属于真命题的是（

A ．①②

B ．①③

【分析】 根据全等三角形的判定定理进行判断即可．

【解答】 解： ① 有两边及第三边上的高对应相等，这两边的夹角有可能一个是锐角一个

是钝角，所以这两个三角形不一定全等，故为假命题；

② 腰上的高线和底边对应相等的两个等腰三角形全等是真命题；

③ 斜边上的中线及一锐角对应相等的两个直角三角形全等是真命题，

故选： C．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，

正确的命题叫真命题， 错误的命题叫做假命题，

掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

9．（ 3 分）如图， 在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，∠BAC＝ 30°，在△ ADC 中，∠ ADC ＝ 90°，

∠ DAC＝ 45°，连接 BD ，则∠ ADB 等于（

）

A ．60°

B ．70° C． 75° D． 80°

【分析】作 DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ BC 于 F，如图，通过证明△ ADE ≌△ CDF 得到 DE ＝ DF ，

则 BD 平分∠ ABC ，所以∠ ABD＝ 45°，然后根据三角形内角和计算∠

ADB 的度数．

【解答】 解：作 DE ⊥ AB 于 E， DF ⊥ BC 于 F，如图，

∵∠ ADC＝ 90°，∠ DAC＝ 45°，

∴△ ADC 为等腰直角三角形，

∴ AD＝ CD，

∵∠ ABC＝ 90°， ∴∠ EDF ＝ 90°， ∴∠ ADE＝∠ CDF ， ∴△ ADE≌△ CDF ，

∴ DE＝ DF ，

第 9 页（共 20 页）

∴ BD 平分∠ ABC，

∴∠ ABD＝ 45°，

∴∠ ADB＝ 180°﹣ 45°﹣ 30°﹣ 45°＝ 60°．故选： A．

【点评】 本题考查了三角形内角和： 三角形内角和是 180°．也考查了全等三角形的判定

与性质和角平分线的性质定理的逆定理．

10．（ 3 分）已知

a+b＝2， b≤ 2a，那么对于一次函数 y＝ ax+b，给出下列结论： ① 函数 y

一定随 x 的增大而增大； ② 此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为

，则下列

判断正确的是（

）

B． ① 错误， ② 正确 D． ① ，② 都错误

A ．① 正确， ② 错误

C．① ， ② 都正确

【分析】 根据一次函数的性质、配方法即可解决问题；

【解答】 解：∵ a+b＝ 2，

∴ b＝ 2﹣ a，

∵ b≤ 2a，

∵ a＞ 0，

∴ y 随 x 的增大而增大，故 ① 正确，

∴ 2﹣ a≤ 2a， ∴ a≥ ， ∴ y＝ ax+2﹣ a，

函数图象与坐标轴所围成的三角形面积

S＝ ?|b|?| |＝ ? ，

此函数没有最大值，故 ② 错误，

故选： A．

【点评】 本题考查一次函数的性质、配方法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，属于中考常考题型．

第 10 页（共 20 页）

二、填空题（本大题共

6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（ 3 分）如图，规定列号写在前面，行号写在后面，如用数对的方法，棋盘中“帅”与

“卒”的位置可分别表示为（

e，4）和（ g，3），则“炮”的位置可表示为 （ h，4） ．

【分析】 根据已知点的坐标即可确定原点位置，进而得出答案．

【解答】 解：根据题意知“炮”的位置可表示为（

h，4），

故答案为：（ h，4）．

【点评】 此题主要考查了坐标确定位置，正确得出行列表示的数据的顺序是解题关键．

12．（ 3 分）已知 x＞ y，且（ m﹣ 2） x＜（ m﹣ 2） y，则 m 的取值范围是

m＜ 2 ．

【分析】 原不等式两边同时乘以

m﹣ 2 后不等号改变方向，则 m﹣ 2＜ 0，则 m＜ 2．

【解答】 解：∵若 x＞ y，且（ m﹣2） x＜（ m﹣ 2）y，

∴ m﹣ 2＜ 0，则 m＜ 2；故答案为 m＜2．

【点评】 本题考查了不等式的性质：

（ 1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变．（ 2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（ 3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

13．（ 3 分）如图，点

D ，E，F 分别是△ ABC 三条边的中点，设△ S ．

ABC 的面积为 S，则四边

形 CDEF 的面积为

【分析】 根据三角形中线的性质得到

EF ∥ BC， DF ∥ AC， DE∥ AB，EF ＝ BC，再利用

平行线的性质得到∠ EFD ＝∠ FDB ＝∠ C，∠ FED ＝∠ EDC＝∠ B，然后根据相似三角形的判定得到

第 11 页（共 20 页）

△ DEF ∽△ ABC ，再利用三角形相似的性质有

22

S△ DEF：S△ ABC＝ EF：BC＝ 1： 4，即可得

到 S△DEF＝

S△ ABC．进而解答即可．

【解答】 解：∵ D 、 E、 F 分别是△ ABC 三边的中点，

∴ EF∥ BC， DF ∥ AC，DE ∥ AB， EF＝ BC，

∴∠ EFD ＝∠ FDB ＝∠ C，∠ FED ＝∠ EDC ＝∠ B，

∴△ DEF ∽△ ABC，

22

∴ S△DEF： S△ABC＝ EF： BC＝ 1： 4，

∴ S△DEF＝ S△ABC＝ S．

同理可得 S△ DCF ＝ S△ ABC＝ S．

∴四边形 CDEF 的面积为

，

故答案为：

S

【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了三角形中线的性质．

14．（3 分）若 A（ x1， y1），B（ x2， y2）是一次函数 y＝（ a+1 ）x﹣ 2 图象上不同的两点，记

m＝（ x1﹣ x2）（y1﹣ y2），则当 m＜0 时， a 的取值范围是 a＜﹣ 1 ．

【分析】 根据一次函数的性质知，当

k＜ 0 时，判断出 y 随 x 的增大而减小．

【解答】 解：∵ A（ x1，y1）、B（x2， y2）是一次函数 y＝（ a+1）x﹣ 2 图象上的不同的两

点， m＝（ x1﹣x2）（ y1﹣ y2）＜ 0，

∴该函数图象是 y 随 x 的增大而减小，

∴ a+1＜0，

解得 a＜﹣ 1．

故答案为： a＜﹣ 1

【点评】 此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理是关

键．

15．（ 3 分）已知直线

l 1：y＝﹣ 2x+4 与直线 l2：y＝ kx+b（ k≠ 0）相交于点 M，且直线 l2 与 x

轴的交点为 A（﹣ 2， 0）．

（ 1）若点 M 的坐标为（ 1，2），则 k 的值为

；

第 12 页（共 20 页）

（ 2）若点 M 在第一象限，则

k 的取值范围是 0＜ k＜ 2 ．

【分析】（ 1）根据待定系数法即可求得；

（ 2）根据直线 l2 与 x 轴的交点为 A（﹣ 2， 0），求出 k、 b 的关系；然后求出直线 线 l 2 的交点坐标，根据直线

l 1、直线 l2 的交点横坐标、纵坐标都大于

l1、直

0，求出 k 的取值

范围即可．

【解答】 解：（ 1）∵直线 l2： y＝kx+b（ k≠ 0）经过点 M（ 1， 2），且直线 l2 与 x 轴的交

点为 A（﹣ 2，0）．

∴

， ； ；

解得 k＝

故答案为

（ 2）∵直线 l 2 与 x 轴的交点为 A（﹣ 2， 0），∴﹣ 2k+b＝ 0，

∴

，解得 ，

∵直线 l 1：y＝﹣ 2x+4 与直线 l2： y＝ kx+b（ k≠ 0）的交点在第一象限，

∴

，

解得 0＜ k＜ 2．

故答案为 0＜ k＜2．

【点评】 此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．

16．（ 3 分）在△ ABC 中， AB＝ 11， AC＝ 13，

（ 1）若△ ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形，则△

ABC 的周长为 24+6

35 ；

（ 2）若△ ABC 的面积为 66，则△ ABC 的周长为

或 44 ．

【分析】（ 1）根据等腰三角形的性质以及三角形周长的定义即可求解；

（ 2）分两种情况：△ ABC 是锐角三角形，△ ABC 是钝角三角形，过

C 点作 CD ⊥AB 于

D ，先根据三角形面积公式求出

AB 边的高，再根据勾股定理求出

第 13 页（共 20 页）

AD，进一步得到 BD，

再根据勾股定理求出

BC，再根据三角形周长的定义即可求解．

AB ＝11，AC＝ 13，

【解答】 解：（ 1）∵△ ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形，

∴ BC＝ 11，

则△ ABC 的周长为 11+13+11＝ 35；

（ 2）当△ ABC 是锐角三角形，

如图 1，过 C 点作 CD ⊥AB 于 D ， ∵△ ABC 的面积为 66，

∴ CD ＝ 12，

∴ AD＝

＝ 5，

∴ BD＝ 11﹣ 5＝ 6，

∴ BC＝ ＝ 6 ，

∴△ ABC 的周长为 AB+BC+AC＝11+6

+13＝ 24+6 ．

当△ ABC 是钝角三角形，

如图 2，过 C 点作 CD ⊥AB 交 BA 的延长线于

D ，

∵△ ABC 的面积为 66，

∴ CD ＝ 12，

∴ AD＝

＝ 5，

∴ BD＝ 11+5＝16，

∴ BC＝

＝ 20，

∴△ ABC 的周长为 AB+BC+AC＝11+20+13 ＝ 44．

综上所述，△ ABC 的周长为 24+6

或 44．

故答案为： 35；24+6

或 44．

第 14 页（共 20 页）

【点评】 考查了等腰三角形的性质，三角形周长以及勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

三、解答题（本大题共

7 小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）

17．（ 6 分）解不等式（组） ：

，并写出它的整数解．

【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】 解：解不等式 3（ 1﹣ x）＞ 2（ 1﹣ 2x）得： x＞﹣ 1，

解不等式

≥

得： x≤ 3，

则不等式组的解集为﹣

1＜x≤ 3，

0、 1、 2、 3．

所以不等式组的整数解为

【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大； 同小取小； 大小小大中间找； 大大小小找不到” 的原则是解答此题的关键．

18．（ 6 分）已知 y 是关于 x 的一次函数，下列表列出了部分对应值：

x

﹣ 2 ﹣ 3

﹣ 1 ﹣ 1

0 m

1 3

a 5

y

求此一次函数的表达式及

a， m 的值．

x＝ 0 代入，得到 m 的值，把 y＝ 5 代

【分析】 用待定系数法可求出函数关系式，然后把

入得出 a 的值．

【解答】 解：设 y＝ kx+b，

当 x＝ 1 时， y＝ 3；x＝﹣ 1 时， y＝﹣ 1．

据此列出方程组

，

求得

，

y＝ 2x+1，

第 15 页（共 20 页）

∴一次函数的解析式

然后把 x＝ 0 代入，得到 y＝m＝ 1．

把 y＝ 5 代入得出，得出 5＝ 2a+1，解得： a＝2．

【点评】 此题考查确定一次函数解析式的问题，利用一次函数的特点，列方程组，求出

一次函数解析式是解决本题的关键．

19．（ 7 分）如图，已知∠

α和线段 a，用直尺和圆规作等腰△ ABC，使底角∠ B＝∠ α，底边

BC＝ a，（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】先作∠ MBN ＝∠ α，再截取 BA ＝a，然后以 A 点圆心， a 为半径画弧交 BM 于 C，则△ ABC 满足条件．

【解答】 解：如图，△ ABC 为所作．

【点评】 本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．

20．（ 7 分）已知三条线段的长分别为

a， a+1， a+2 ．

（ 1）当 a＝ 3 时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．

（ 2）若这三条线段可以组成一个三角形，求

a 的取值范围．

【分析】（ 1）根据勾股定理的逆定理即可求解；

（ 2）根据三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和，列不等式求解．

【解答】（ 1）证明：当 a＝ 3 时， a+1＝ 4， a+2＝ 5，

第 16 页（共 20 页）

2 2

2

∵ 3 +4 ＝5 ，

∴这三条线段可以组成一个直角三角形．

（ 2）解：根据三角形的三边关系，得

a+a+1＞ a+2，

解得 a＞ 1．

故 a 的取值范围是 a＞ 1．

【点评】 此题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，能够熟练解不等式．

21．（ 8 分）如图，平面直角坐标系内有一△

ABC ，且点 A（ 2， 4）， B（ 1， 1）， C（ 4， 2）．

（ 1）画出△ ABC 向下平移 5 个单位后的△ A1B1C1；

（ 2）画出△ A1B1C1 先向左平移 5 个单位再作关于

x 轴对称的△ A2B2C2 ，并直接写出点

A2， B2 的坐标．

【分析】（ 1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（ 2）直接利用平移的性质再结合轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答

案．【解答】 解：（ 1）如图所示：△ A1B1C1，即为所求；

（ 2）如图所示：△ A2B2C2，即为所求，点 A2（﹣ 3， 1），B2（﹣ 4， 4）．

第 17 页（共 20 页）

【点评】 此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，

关键是正确确定组成图形的关键点关于 x

轴的对称点位置．

22．（ 8 分）如图 ① ，公路上有

A， B，C 三个车站，一辆汽车从

v2 匀速驶向

A 站以速度 v1 匀速驶向 B

站，到达 B 站后不停留，以速度

C 站，汽车行驶路程 y（千米）与行驶时间

x（小时）之间的函数图象如图 ② 所示．

（ 1）求 v1， v2 的值；

（ 2）若汽车在某一段路程内刚好用

50 分钟行驶了 60 千米，求这段路程开始时 （ 3）设汽车距离 B 的路程为 S（千米），请直接写出 S 关于 x 之间的函数表达式．【分析】（ 1）根据题意和函数图象可以求得

v1 ，v2 的值；

（ 2）根据（ 1）中的结果，可以求得这段路程开始时

x 的值；

（ 3）根据题意和函数图象可以求得

S 关于 x 之间的函数表达式．

【解答】 解：（ 1）由题意可得，

v1＝ 90÷1.5＝ 60 千米 /时，

180÷ 60＝ 3，

则 v2＝（ 260﹣ 180）÷（ 4﹣ 3）＝ 80 千米 /时； （ 2）∵在 AB 段，行驶 50 分钟的路程为： 60× ＝ 50＜60，

在 BC 段，行驶 50 分钟的路程为： 80×

＝ 66 ＞ 60，

∴ 60（3﹣ x） +80（

）＝ 60，

解得， x＝

答：这段路程开始时

x 的值是 ；

（ 3）当 0≤ x≤ 3 时， S＝ 180﹣ 60x，

当 3＜x≤ 4 时， S＝ 80（ x﹣3）＝ 80x﹣240，

由上可得， S 关于 x 之间的函数表达式是

S＝ ．

第 18 页（共 20 页）

x 的值；

【点评】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．

23．（ 10 分）如图 1，△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形， M ，N 分别是 BE，CD 的中点，易证： CD ＝BE，△ AMN 为等边三角形．

（ 1）当△ ADE 绕点 A 旋转至如图 2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（ 2）若 AB＝ 2AE，且当△ ADE 绕点 A 旋转至图 3 位置时，即点 E 恰好在 AC 上时，试求△ ADE，△ ABC，△ AMN 的面积之比．

【分析】（ 1）可以利用 SAS判定△ ABE≌△ ACD ，全等三角形的对应边相等，所以

CD ＝

BE．

（ 2）可以证明△ AMN 是等边三角形， AD＝ a，则 AB＝ 2a，根据已知条件分别求得△

AMN

的边长，因为△ ADE，△ ABC，△ AMN 为等边三角形， 所以面积比等于边长的平方的比．

【解答】 解：（ 1） CD ＝ BE．理由如下：

∵△ ABC 和△ ADE 为等边三角形，

∴ AB＝ AC， AE＝ AD，∠ BAC ＝∠ EAD＝ 60°， ∵∠ BAE＝∠ BAC ﹣∠ EAC＝ 60°﹣∠ EAC， ∠ DAC＝∠ DAE﹣∠ EAC＝ 60°﹣∠ EAC， ∴∠ BAE＝∠ DAC ，

∴△ DAC≌△ EAB（SAS），

∴ CD ＝ BE．

（ 2）△ AMN 是等边三角形．理由如下：

∵△ ABE≌△ ACD ，M、 N 分别是 BE、 CD 的中点，

∴ AM ＝AN，NC＝ MB ．

第 19 页（共 20 页）

∵ AB＝ AC，

∴△ ABM≌△ ACN，

∴∠ MAB＝∠ NAC，

∴∠ NAM ＝∠ NAC+∠ CAM ＝∠ MAB+∠ CAM ＝∠ BAC ＝ 60°，

∴△ AMN 是等边三角形，

设 AD ＝ a，则 AD ＝ AE＝ DE ＝ a， AB＝ BC＝ AC＝ 2a，

易证 BE⊥ AC，

∴ BE＝

＝ ＝ a，

∴ EM ＝a，

∴ AM ＝ ＝ ＝

a，

∵△ ADE，△ ABC，△ AMN 为等边三角形， ∴ S△ADE： S△ABC： S△AMN＝ a：（ 2a） ：（

22a） ＝ 1： 4： ＝ 4： 16： 7．

2

【点评】 此题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质，勾股定理及旋转的性质等

知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考

常考题型．

第 20 页（共 20 页）