指数和对数函数典型例题

指数和对数函数典型例题

1．（13分）

lg8lg125lg2lg5345log2log5log2（1）求+551的值，

（2）：已知x1，且xx6,求xx

lg8lg125lg2lg531345log52loglog1=2+2+8=11 525解答：(1)+

11212111122xxxx2(2)=4

2x1xx12120xx12122

2．（本题满分12分）

22已知函数 f(x)2log3x（1≤x≤9），g(x)[f(x)]f(x)．

（1）求函数g(x)的解析式及定义域；

（2）求函数g(x)的最大值与最小值及相应的x值．

g(x)[f(x)]2f(x2)(2log3x)2(2log3x2)解：（1）由 得g(x)的解析式为

1

2g(x)log3x6log3x6 ，

1x921x9 得g(x)的定义域为 1x3．  由

（2）因为

2g(x)log3x6log3x6(log33)23（1x3），

又 0log3x1，

所以 当 log3x0 即 x1 时，g(x)min6；

当 log3x1 即 x3 时，g(x)max13．

exax3.设a＞0，f（x）＝ae是R上的偶函数.

（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

exax解：（1）∵f（x）=ae是R上的偶函数，∴f（x）－f（－x）=0．

exaexa11xx(a)ex(a)exaeaa∴ae

1(a)(exex)0a

2

1ex－e-x不可能恒为“0”，∴当a－a＝0时等式恒成立，∴a＝1．

（2）在（0，＋∞）上任取x1＜x2，

ex111xexx(exex)(x)xeee f（x1）－f（x2）＝ae12121212(exex)(exex)122111xx(ee)(1)xxxxeeee

1212121212(exex)(exex1)xxxxxxee,eeexex∵e＞1，∴0＜＞1，∴ee＞1＜0，

12121212∴f（x1）－f（x2）＜0，

∴f（x）是在［0，＋∞）上的增函数．

22x1,

4.设函数

f(x)a⑴ 求证: 不论a为何实数f(x)总为增函数;

⑵ 确定a的值,使f(x)为奇函数.

解: (1)

f(x)的定义域为R, x1x2,

3

2(2x12x2)22f(x1)f(x2)ax1ax2x1x2(12)(12), 2121则=

x1x2x1x2x1x2220,(12)(12)0,f(x1)f(x2)0, ,

即f(x1)f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.…………7分

22a2x12x1,

(2) f(x)为奇函数, f(x)f(x),即

a 解得: a1.

f(x)12.2x1 ………………14分

5. （12分）函数fx满足：f3xy3fxfy对任意的x,yR均成立，且当x0时，fx0。

（I）求证：f4x4fx,f3x3fx；

（II）判断函数fx在,上的单调性并证明；

x21flog2212flog24xx2。 （III）若f82，解不等式： 4

m3x1fxx31是定义在实数集R上奇函数。 6．（本题满分12分）已知函数

（1）求实数m的值；（2）若x满足不等式4x1252x180，求此时f(x)的值域。

5

m3x1m3x1m3xm3x1xxxxxm13m10，从而31311331解：⑴由题，即，故

m1；

⑵由4x1252x1x80得222102x80，即2x12x40，故12x4，得

43x12fx0,fxx1xx5。 0x2。因为3131，而139，故

7. （本小题12分）已知函数

f(x)loga(x2ax3)

（1）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；

（2）当x(0,2)时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围。

22g(x)xax3g(x)xax3需取遍(0,)内任意值， 解：（1）令，由题设知

2所以a120解得

a23或a23 ……………………………………………6分

2g(x)xax30对一切x(0,2)恒成立且a0,a1 （2）

即

ax3x对一切x(0,2)恒成立 ………………………………………8分

3h(x)x,x(0,2)x令，当x3时，h(x)取得最小值为23，

6

所以a23

x18．（本题满分12分）已知函数f(x)a(a0且a1)

（1）若函数yf(x)的图象经过P（3，4）点，求a的值；

1)与f(2.1)100大小，并写出比较过程；

（2）比较

f(lg（3）若f(lga)100，求a的值. 解：⑴∵函数yf(x)的图象经过P(3,4)

3-12a4a∴，即4. ……………………………………… 2分

又a0，所以a2. ……………………………………… 4分

1)f(2.1)100;

⑵当a1时，

f(lg当0a1时，

f(lg1)f(2.1)100. …………………………………… 6分

因为，

f(lg1)f(2)a33.1f(2.1)a100，

当a1时，ya在(,)上为增函数，

x 7

33.1∵33.1，∴aa.

即

f(lg1)f(2.1)100.

当0a1时，ya在(,)上为减函数，

x33.1∵33.1，∴aa.

即

f(lg1)f(2.1)100. ……………………………………… 8分

⑶由f(lga)100知，alga1100.

lga1lga2（或lga1loga100）. 所以，

fx9.（本小题满分12分）已知定义域为R的单调函数是奇函数，

当x0时，

fxx2x3.

fx（1）求的解析式；

（2）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求实数k的取值范围.

fxf00解：（1）定义域为R的函数是奇函数 ------------2分

22 8

当x0时，x0

fxx2x3

又函数fx是奇函数 fxfx

x2x3 ------------5

fx分

综上所述

xx32fx0x2x3x0x0x0 ----6分

（2）

5f1f003且fx在R上单调

fx在R上单调递减 -------8分

由

f(t2t)f(2tk)02222f(t2t)f(2tk) 得

f(x)是奇函数 f(t22t)f(k2t2)

，又f(x)是减函数 t22tk2t2------------10分

2 即3t2tk0对任意tR恒成立 k*s5u

412k0 得

k13即为所求 ----------------12

分

9

10. (本小题满分14分)

已知函数

f(x)a12x1，(xR).

（1）用定义证明：不论a为何实数f(x)在(,)上为增函数；

（2）若f(x)为奇函数，求a的值；

（3）在（2）的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值.

解: (1)

f(x)的定义域为R, 任取x1x2,------------1分

则

2x2x11f(x1)f(x2)ax1ax2xx2121=(12)(12). -----------3分

1212x1x2,∴ 2x12x20,(12x1)(12x2)0.

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).

所以不论a为何实数f(x)总为增函数. —————————————5分

(2) f(x)在xR上为奇函数,

∴f(0)0, ------------7分

11a02. —————————————9201.解得

10

即

a分

(3)由(2)知，

f(x)11x221,

由(1) 知，f(x)为增函数,

∴f(x)在区间[1,5)上的最小值为f(1). ------------12分

111236，

∵

f(1)∴f(x)在区间[1,5)上的最小值为6.———————————————14

1分

11．（本小题满分10分）

已知函数f(x)log2(4x1)ax．

⑴ 若函数f(x)是R上的偶函数，求实数a的值；

⑵ 若a4，求函数f(x)的零点．

解：∵f(x)是R上的偶函数

∴f(x)f(x)即f(x)f(x)0

x4[log(41)a(x)][log(41)ax]0 22∴

4x1log2x2ax041

11

log124x2ax0

2x2ax0

即a1

若a4，

f(x)log2(4x1)4x 令f(x)0，

log2(4x1)4x

4x124x

(4x)24x10

4x15152或2（舍）

∴

xlog1542

12.设不等式2(log

12x)2+9(log

12x)+9≤0的解集为xxx()=(log22)(log28)的最大、最小值.

解：∵2(

log1log12x)2+9(2x)+9≤0

12

，求当x∈M时函数

fM

∴(2

log12x+3)(

log12x+3)≤0.

∴－3≤

log132x≤－2.

即

log11log1log1132 (2)－3≤2x≤2(2)2

131∴(2)2≤x≤(2)－3,∴22≤x≤8

即M={x|x∈［22,8］}

又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.

∵2

32≤x≤8,∴2≤log2x≤3

∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0.

13