平面向量在高考中的题型分类

题型一、向量在几何中的运算

1.(2018全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， 则

EB

31ABAC 4431C．ABAC

44A．

13ABAC 4413 D．ABAC

44 B．

2.（2016年天津）已知ΔABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为

5A．

8

1 B．

81 C．

4 D．

118

3．（2015安徽）ΑΒC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足ΑΒ2a，

ΑC2ab，则下列结论正确的是

A．b1 B．ab C．ab1 D．4abΒC 4．（2014新课标1）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则

EBFC

A．AD B． 1AD C． 1BC D． BC

225．（2013福建）四边形ABCD中，AC(1,2),BD(4,2)，则该四边形的面积为

A．5

B．25

C．5

D．10

6．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则

AEBD ．

7．（2013天津）在平行四边形ABCD中，AD = 1，BAD60，E为CD的中点．若

AC·BE1， 则AB的长为 ．

18．（2014新课标Ⅰ）已知A，B，C是圆O上的三点，若AO(ABAC)，则

2AB与AC的夹角为 ．

9.（2019天津理14）在四边形ABCDAD∥BC,AB23,AD5,A30，

点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE . 10．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60，则BDCD＝

3333A．a2 B．a2 C．a2 D．a2

244211．（2015新课标）设D为ABC所在平面内一点，BC3CD，则

1414A．ADABAC B．ADABAC

33334141C．ADABAC D．ADABAC

333312．（2015四川）设四边形ABCD为平行四边形，AB6，AD4．若点M,N满足BM3MC，DN2NC，则AMNM

A．20 B．15 C．9 D．6 13．（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，BADBC,DC上，BEλμ120，点E,F分别在边

λBC，DFμDC.若AEAF1，CECF2，则3

A．

1257 B． C． D． 2361215．（2012天津）在△ABC中，A=90°，AB=1，设点P，Q满足APAB，

AQ(1)AC，R．若BQCP2，则

124A． B． C． D．2

33316．（2010湖南）在边长为1的正三角形ABC中, 设BC2BD,CA3CE,

则ADBE______．

17.（2019江苏12）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，

AD与CE交于点O.若ABAC6AOEC，则

AB的值是 . AC

18．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆

心且与BD相切的圆上．若APABAD，则的最大值为 A．3 B．22 C．5 D．2

19．（2015天津）在等腰梯形ABCD中,已AB∥DC,AB2,BC1,ABC60．

动点E和F分别在线段BC和DC上，且BEBC，DFAEAF的最小值为 ．

1DC，则9二、数量积运算

1．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)

A．4

B．3

C．2

D．0

2．（2016年山东）已知非零向量m,n满足4|m|3|n|，cosm,nn(tmn)，则实数t的值为

1．若3A．4 B．–4 C．

9 4 D．–

9 43．(2015重庆)若非零向量a，b满足a的夹角为 A．

22b，且(ab)(3a2b)，则a与b33 B． C． D．

4424．（2014新课标2）设向量a,b满足|a+b|=10，|ab|=6，则ab

A．1 B．2 C．3 D．5 5．（2013浙江）设ABC，P0是边AB上一定点，满足PB01AB，且对于边AB4上任一点P，恒有PBPC≥P0BPC0．则

A．ABC900 B．BAC900 C．ABAC D．ACBC 6．（2010辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OBb，则△OAB的

面积等于

A．|a|2|b|2(ab)2 B．|a|2|b|2(ab)2 C．11|a|2|b|2(ab)2 D．|a|2|b|2(ab)2 227．(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1e2与e1e2的夹角为

60，则实数的值是 ．

8．(2015新课标Ⅰ)设向量a,b不平行，向量ab与a2b平行，则实数= ___． 9．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若

bc0，则t_____．

10．（2013山东）已知向量AB与AC的夹角120，且|AB|=3，|AC|=2，若

APABAC，且APBC，则实数的值为_____．

11．(2014山东)在中ABC，已知ABACtanA，当A为 ．

6时，ABC的面积

211．（2011江苏）已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，

3bke1e2， 若ab0，则k的值为 ．

12．（2011新课标）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．

13．（2011安徽）已知向量a,b满足(ab)(ab)，且a1，b2，则a与b的夹角为 . 三、坐标数量积运算（建系）

1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC=

A．-3 C．2

B．-2 D．3

2．（2016年山东）已知非零向量m,n满足4|m|3|n|，cosm,nn(tmn)，则实数t的值为

1．若3A．4 B．–4 C．

9 4 D．–

9 431133．（2016年全国III）已知向量BA(,) ,BC(,), 则ABC=

2222A．30 B．45 C．60 D．120

4．(2014山东)已知向量a(1,3),b(3,m). 若向量a,b的夹角为

A．23

B．3 C．0

D．3

，则实数m 65．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量a3,2表示出来的是

A．e1(0,0),e2(1,2) B．e1(1,2),e2(5,2) C．e1(3,5),e2(6,10) D．e1(2,3),e2(2,3)

6．（2014重庆）已知向量a(k,3),b(1,4),c(2,1),且(2a3b)c，则实数k

915A． B．0 C．3 D．

227．（2013辽宁）已知点A(1,3)，B(4,1)，则与向量AB同方向的单位向量为

43344334A．，- B．，- C．， D．，

555555558．（2013湖北）已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2,1)、D(3,4)，则向量AB在CD方

向上的投影为 A．3231532315 B． C． D．

22229．（2012陕西）设向量a=（1,cos）与b=（1,2cos）垂直，则cos2等于

A．

21 B． C．0 D．－1 22c=10．（2011广东）已知向量a=（1,2），（1,0），（3,4）．若为实数， (ab)∥c，b=

则=

A．

1 4B．

1 2C．1 D．2

11．（2011辽宁）已知向量a(2,1)，b(1,k)，a(2ab)0，则k

A．12

B．6

C．6

D．12

12．(2018全国卷Ⅲ)已知向量a(1,2)，b(2,2)，c(1,)．若c∥(2ab)，

则= ．

13．(2016全国I)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m= . 14．(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1,2)，若manb(9,8)（m,nR），

则mn 的值为___．

15．(2014京)已知向量a、且ab0(R)，则__． b(2,1)，b满足a1，16．（2014四川）平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab（mR），且c与a的

夹角等于c与b的夹角，则m____________．

17.（2010陕）向量a=（2，1），b=（1，m），c=（1,2），若（a+b） ∥

c，则m= ．

18．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，

BAD120，ABAD1． 若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小

值为 A．

21 163B．

2C．

25 16 D．3

CEDAB

19．(2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为

，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是 3 B．31

C．2

D．23

A．31

20．（2017新课标Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一

点，则PA(PBPC)的最小值是

34A．2 B． C． D．1

2319．（2015福建）已知ABAC， AB， ACt，若点P是ABC所在平面

t内一点，且APABAB4ACAC ，则PBPC 的最大值等于

A．13 B．15 C．19 D．21

11．（2015湖南）已知点A,B,C在圆x2y21上运动，且ABBC．若点P的坐标为(2,0)，则PAPBPC的最大值为 A．6 B．7 C．8 D．9

18．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2,0)，E，F是y轴

上的两个动点，且|EF|2，则AEBF的最小值为______．

19．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：

x2y250上，若PAPB≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．

20．（2017天津）在△ABC中，∠A60，AB3，AC2．若BD2DC，

AEACAB(R)，且ADAE4，则的值为___________．

BC2，点E为BC的中点，27．（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，AB2，点F在边CD上，若ABAF2，则AEBF的值是 ．

26．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0),B(0,3),C(3,0),动

点D满足|CD|1，则|OAOBOD|的最大值是 ．

27．（2013湖南）已知a,b是单位向量，ab=0．若向量c满足cab1，则

c的最大值为 A．21

B．2 C．21 D．22

28．（2013重庆）在平面上，AB1AB2，OB1OB21,APAB1AB2．若

OP1，则OA的取值范围是 2572,2 C． 75,2 D．,2 2250,A．2 B． 29．（2013湖南）已知a,b是单位向量，ab=0．若向量c满足cab1，则

c的最大值为 A．21

B．2 C．21 D．22

四、模的运算

1．（2015陕西）对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是

A．|ab|≤|a||b| B．|ab|≤||a||b|| C．(ab)2|ab|2 D．(ab)(ab)a2b2

2．（2014浙江）设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|是

最小值为1

A．若确定，则|a|唯一确定 B．若确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则唯一确定 D．若|b|确定，则唯一确定

5．（2012浙江）设a，b是两个非零向量

A．若|ab||a||b|，则ab B．若ab，则|ab||a||b|

C．若|ab||a||b|，则存在实数，使得ba D．若存在实数，使得ba，则|ab||a||b|

6．(2017新课标Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|2，|b|1，则|a2b|= ． 7．(2017浙江)已知向量a,b满足|a|1,|b|2,则|ab||ab|的最小值

是 ，最大值是 ．

8．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，

2，OA与OC的夹角为，且tan7，OB与OC的夹角为45．若OC=mOA+nOB（m，nR），则mn= ．

9．（2012安徽）若平面向量a，b满足：2ab≤3；则ab的最小值是_____． 10．（2013北京）已知向量a，b夹角为45o，且|a|1，|2ab|10，则|b| 11．（2013浙江）设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x,yR，若e1，

e2的夹角为

|x|，则的最大值等于________．

|b|612.（2019浙江17）已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i1,2,3,4,5,6)取

遍1时，|1AB2BC3CD4DA5AC6BD|的最小值是________，最大值是_______.