2015高考理科数学《正弦定理和余弦定理》练习题

2015高考理科数学《正弦定理和余弦定理》练习题

[A组 基础演练·能力提升]

一、选择题

1．(2014年北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos A＝sin Bcos B，则△

ABC是( )

A．等腰三角形 C．等腰直角三角形

B．直角三角形 D．等腰或直角三角形

解析：由sin Acos A＝sin Bcos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝

答案：D

2．(2014年长沙模拟)在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为( )

A.C.π

4π 2

B.D.π 33π 4

π

，所以△ABC为等腰或直角三角形，选D. 2

解析：由题意知，sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－2cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2，tan(B＋C)＝

答案：A

3．(2013年高考湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于( )

A.C.π 12π 4

B.D.π 6π 3

tan B＋tan Cπ

＝－1＝－tan A，所以角A＝. 1－tan Btan C4

π3

解析：由已知及正弦定理得2sin AsinB＝3sin B，因为sin B>0，所以sin A＝.又A∈0，，

22所以A＝

π

. 3

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答案：D

4．(2014年铁岭六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且acos C，bcos B，ccos

A成等差数列，则B的值为( )

πA. 62πC. 3

πB.

35πD. 6

解析：由题意得acos C＋ccos A＝2bcos B，又a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，得sin(A1

＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B，在△ABC中，0答案：B

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，则△ABC的面积等于( )

1A. 2C．1

3B. 23D. 4

1

解析：∵a＝3bsin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A，∴sin B＝.∵ac＝3，∴△ABC31111

的面积S＝acsin B＝×3×＝，故选A.

2232

答案：A

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且

c＝2a，则cos B的值为( )

1A. 4C.2 4

3B. 4D.2 3

解析：因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得，b2＝

a2＋c2－b24a2＋a2－2a23

ac，又c＝2a，故cos B＝＝＝，故选B.

2ac4a24

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答案：B 二、填空题

7．(2014年长春模拟)△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sin B＝6cos A·sin C，则b的值为________．

b2＋c2－a2

解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B＝6cos Asin C可化为b＝6··c，化简可

2bc得b2＝3(b2＋c2－a2)，

又a2－c2＝2b且b≠0，得b＝3. 答案：3

1

8．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.

33ca2＋4b2

解析：△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(3a2

sin∠BAMsin∠BMAcos∠MAC22bBMABAB2

a2a6

－2c2)2＝0，2＝，故sin∠BAC＝＝.

c3c3

6

答案：

3

9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.

解析：由3sin A＝5sin B可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，

a2＋b2－c2

可得cos C＝＝

2ab答案：

2π 3

t2

＋t2－2×5t×3tt2

12π＝－，故C＝.

23

三、解答题

10．(2014年太原模拟)在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且3a＝2csin A. (1)求角C的度数；

33

(2)若c＝7，且△ABC的面积为，求a＋b的值．

2解析：(1)由正弦定理得： 3sin A＝2sin Csin A，

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∵A，C是锐角，∴sin C＝

3

，∴C＝60°. 2

133

(2)由已知得，△ABC的面积S＝absin C＝，

22∴ab＝6.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， ∴(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.

11．(2014年荆州模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋23cos2x－3，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)在锐角△ABC中，若f(A)＝1，AB·AC＝2，求△ABC的面积．

π

解析：(1)f(x)＝2sin xcos x＋3(2cos2x－1)＝sin 2x＋3cos 2x＝2sin2x＋，

32π

故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

2π

(2)在锐角△ABC中，有f(A)＝2sin2A＋＝1，

3πππ4π

∵02333π5ππ

∴2A＋＝，∴A＝.

3

→→→

又AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝2， →

∴|AB|·|AC|＝2.

→1→122

∴△ABC的面积S＝|AB|·|AC|sin A＝×2×＝. 2222

12．(能力提升)(2014年南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．

解析：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－

3sin Acos B＝0，即有sin Asin B－3sin Acos B＝0，

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→→

→

→

因为sin A≠0，所以sin B－3cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝3，又0(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B. 12112

因为a＋c＝1，cos B＝，所以b＝3a－＋. 242112

又042

[B组 因材施教·备选练习]

1．(2014年郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcos C＝2a－c， (1)求B；

(2)若△ABC的面积为3，求b的取值范围．

解析：(1)由正弦定理得2sin Bcos C＝2sin A－sin C， ∵在△ABC中，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B， ∵sin C(2cos B－1)＝0，又00， 1π

∴cos B＝，注意到0(2)∵S△ABC＝acsin B＝3，∴ac＝4，

2

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥ac＝4， 当且仅当 a＝c＝2时，“＝”成立， ∴b的取值范围为b≥2.

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m∥n.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值

解析：(1)因为m∥n，所以acos B－(2c－b)cos A＝0，由正弦定理得sin Acos B－(2sin C－sin B)cos A＝0，

所以sin Acos B－2sin Ccos A＋sin Bcos A＝0， 即sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A， 所以sin(A＋B)＝2sin Ccos A.

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又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin Ccos A， 因为00，

1π

所以cos A＝，又0所以△ABC面积为S＝bcsin A≤43，

2所以△ABC面积的最大值为43.

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