2016-2017学年上海市闵行区六校八年级〔上〕期中数学试卷
一、选择题〔本大题共4题，每题3分，总分值12分〕 1．以下结论正确的选项是〔 〕 A．是最简二次根式 B．的有理化因式可以是
C．
=1﹣
D．不等式〔2﹣〕x＞1的解集是x＞﹣〔2+〕
2．以下结论中，对于实数a、b，成立的个数有〔 〕 ①
=
•
； ②
=
； ③
=±a； ④
=a2．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，以下结果中正确的选项是〔A．〔x﹣y〕〔x﹣y〕 B．2〔x﹣y〕〔x﹣
y〕
C．〔2x﹣4y+
y〕〔x﹣
y〕
D．2〔x﹣
y〕〔x﹣
y〕
4．以下命题中，属于真命题的是〔 〕 A．相等的两个角是对顶角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角和 C．互补的两个角不一定相等
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形是全等三角形
二、填空题〔本大题共14题，每题2分，总分值28分〕 5．当x 时，在实数范围内有意义． 6．化简：
〔a＞0〕= ．
7．假设a，b，c为三角形的三边长，则= ．
8．假设最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b= ． 9．计算：〔
+
〕2015•〔
﹣
〕2016= ．
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〕10．化简：a= ．
11．方程3x2=4x的根是 ． 12．方程x2﹣5x﹣6=0的解是 ．
13．假设一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个根为﹣1，则a、b、c满足 ．
14．已知关于x的方程x2﹣2x+3m=0有两个实数根，则m的取值范围是 ． 15．一种微波炉每台成本价原来是400元，经过两次技术改良后，成本降为256元，如果每次降低率相同，则降低率为 ．
16．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果…那么形成 ． 17．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，D是边BC上一点，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥BC，DF交边AC于点F，∠AFD=155°，则∠EDF= °．
18．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠AEB= °．
三、〔本大题共6题，每题6分，总分值36分〕 19．计算：20．化简：
﹣+2+
． ﹣x
+2
．
21．解方程：3x〔x﹣1〕=2〔1﹣x〕． 22．解方程：23．已知m=
，n=
．
，求m2﹣mn+n2的值．
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24．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE∥AD，交CA延长线交于点E，F是BE的中点，求证：AF⊥BE．
四、〔本大题共3题，每题8分，总分值24分〕
25．一张画片长20厘米、宽16厘米，要在画片的外面镶上一条同样宽的金色纸条，使金色纸条的面积是画片面积的
，求金色纸条的宽．
26．如图，已知△ABC以边AB、AC为边向形外作等边△ABD和等边△ACE，联结BE、CD相交于点G． 求证：〔1〕BE=CD； 〔2〕∠DGB=60°．
27．如图，在正方形ABDC中，把一个45°角的顶点放在D点，将这个45°角绕着D旋转，其两边与线段AB、BC分别交于E、F〔EF与AB不重合〕．
〔1〕自己画几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长．猜想：AE、EF、FC之间的数量关系： ； 〔2〕证明上述结论．
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2016-2017学年上海市闵行区六校八年级〔上〕期中数学
试卷
参与试题解析
一、选择题〔本大题共4题，每题3分，总分值12分〕 1．以下结论正确的选项是〔 〕 A．B．C．
是最简二次根式 的有理化因式可以是
=1﹣
D．不等式〔2﹣〕x＞1的解集是x＞﹣〔2+〕
【考点】分母有理化；最简二次根式；不等式的解集．
【分析】根据最简二次根式的定义，有理化因式的定义，不等式的解法即可得到结论．
【解答】解：A、B、C、
是最简二次根式，故正确；
，故错误；
的有理化因式可以是
=
﹣1，故错误；
D、不等式〔2﹣故选A．
〕x＞1的解集是x＜﹣〔2+〕，故错误；
2．以下结论中，对于实数a、b，成立的个数有〔 〕 ①
=
•
； ②
=
； ③
=±a； ④
=a2．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】二次根式的乘除法；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论． 【解答】解：①当a、b均为负时，
、无意义，
第5页〔共19页〕
∴①不成立； ②∵在
中，a＞0，b≥0，
∴≥0， ∴③∵
=
，②成立； =|a|，
∴③不成立； ④∵
=|a2|=a2，
∴④成立．
综上可知：成立的结论有②④． 故选C．
3．把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，以下结果中正确的选项是〔 〕 A．〔x﹣C．〔2x﹣4y+
y〕〔x﹣y〕〔x﹣
y〕 B．2〔x﹣y〕
D．2〔x﹣
y〕〔x﹣
y〕〔x﹣
y〕
y〕
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】把x看做未知数，把y看做常数，令2x2﹣8xy+5y2=0，解得x的值，即可得出答案．
【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2=0， 解得x1=
y，x2=
y， y〕〔x﹣
y〕
∴2x2﹣8xy+5y2=2〔x﹣故选D．
4．以下命题中，属于真命题的是〔 〕 A．相等的两个角是对顶角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角和 C．互补的两个角不一定相等
第6页〔共19页〕
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形是全等三角形 【考点】命题与定理．
【分析】根据对顶角、三角形的外角，全等三角形的判定即可一一判断． 【解答】解：A、错误．相等的两个角不一定是对顶角． B、错误．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和． C、正确．
D、错误．有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定是全等三角形． 故选C．
二、填空题〔本大题共14题，每题2分，总分值28分〕 5．当x ≤ 时，
在实数范围内有意义．
【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】二次根式的被开方数是非负数． 【解答】解：当3﹣2x≥0，即x≤时，故答案是：≤． 6．化简：
〔a＞0〕= 2a
．
在实数范围内有意义．
【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】依据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：原式=故答案为：2a
7．假设a，b，c为三角形的三边长，则
【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．
【分析】由三角形三边的关系有：a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，然后用二次根式的性质和绝对值的意义对代数式化简． 【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边，
第7页〔共19页〕
=2a．
．
= 2b﹣2c ．
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0． 原式=|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c| =a+b﹣c+b﹣a﹣c =2b﹣2c．
故答案是：2b﹣2c．
8．假设最简二次根式
与
是同类根式，则2a﹣b= 9 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【解答】解：∵最简二次根式∴2a﹣4=2， 3a+b=a﹣b， 解得：a=3，b=﹣3．
∴2a﹣b=2×3﹣〔﹣3〕=9． 故答案为：9．
9．计算：〔
+
〕2015•〔
﹣
〕2016=
﹣
．
与
是同类根式，
【考点】二次根式的混合运算． 【分析】先将〔〔
﹣
+
2015•〕〔
﹣2016
〕变形为[〔
+•〕〔﹣
〕]2015•
〕，然后结合二次根式混合运算的运算法则进行求解即可．
+
〕2015•〔﹣﹣
﹣
〕2016 ﹣
〕
【解答】解：〔=[〔
+
〕•〔
〕]2015•〔〕
=〔﹣1〕2015•〔=﹣〔=
﹣
﹣．
﹣〕
故答案为：
．
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10．化简：a= ﹣ ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】先判定出a的取值范围，然后依据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵﹣＞0， ∴a＜0． ∴原式=a故答案为：﹣
11．方程3x2=4x的根是 x=0或x= ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】因式分解法求解可得． 【解答】解：3x2﹣4x=0， x〔3x﹣4〕=0， ∴x=0或3x﹣4=0， 解得：x=0或x=， 故答案为：x=0或x=．
12．方程x2﹣5x﹣6=0的解是 6和﹣1 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出方程的解． 【解答】解：x2﹣5x﹣6=0 〔x﹣6〕〔x+1〕=0， 解得：x1=6，x2=﹣1． 故答案为：6和﹣1．
13．假设一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个根为﹣1，则a、b、c满足 a﹣b+c=0 ．
第9页〔共19页〕
=a．
=a•=﹣．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=﹣1代入ax2+bx+c=0中，即可得出a、b、c的关系． 【解答】解：把x=﹣1代入ax2+bx+c=0中，得a﹣b+c=0． 故答案为a﹣b+c=0．
14．已知关于x的方程x2﹣2x+3m=0有两个实数根，则m的取值范围是 m≤ ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个实数根可得根的判别式△=〔﹣2〕2﹣4×1×3m≥0，解之可得．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+3m=0有两个实数根， ∴△=〔﹣2〕2﹣4×1×3m≥0，即4﹣12m≥0， 解得：m≤， 故答案为：m
15．一种微波炉每台成本价原来是400元，经过两次技术改良后，成本降为256元，如果每次降低率相同，则降低率为 20% ． 【考点】一元二次方程的应用．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×〔1﹣降低的百分率〕=256，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：400〔1﹣x〕2=256 解得：x=20%或x=1.8〔舍去〕， 故答案是：20%．
16．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果…那么形成 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 ． 【考点】命题与定理．
“如果”后面的内容【分析】每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来表达．
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．
是“题设”，“那么”后面的内容是“结论”．
【解答】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行，
改写成如果…那么…的形式为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
17．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，D是边BC上一点，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥BC，DF交边AC于点F，∠AFD=155°，则∠EDF= 65 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠C的度数，也就是∠B的度数，然后再次利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠EDF=∠B． 【解答】解：∵FD⊥BC， ∴∠FDB=∠FDC=90°， ∵∠AFD是△FDC的外角， ∴∠AFD=∠C+∠FDC， ∵∠AFD=155°，
∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=65°， ∴∠B=∠C=65°， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°．
∵∠EDC是△BDE的一个外角， ∴∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC，
第11页〔共19页〕
∴∠EDF=∠B=65°． 故答案为：65．
18．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠AEB= 110 °．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】先过点E作△ABC三边的垂线ED，EF，EG，根据∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，判定AE平分∠BAC，最后求得∠ABE=30°，∠BAE=40°，根据三角形内角和定理求得∠AEB的度数．
【解答】解：如图，过点E作△ABC三边的垂线ED，EF，EG， ∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴ED=EG=EF， ∵ED⊥AC，EF⊥AB， ∴AE平分∠BAC，
又∵∠ABC=60°，∠ACB=40°， ∴∠BAC=80°，∠ABE=30°， ∴∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠AEB=180°﹣30°﹣40°=110°． 故答案为：110
三、〔本大题共6题，每题6分，总分值36分〕 19．计算：
﹣+．
第12页〔共19页〕
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先化简二次根式，然后合并同类项． 【解答】解：原式=5=8=
20．化简：
+2
﹣x
+2
．
﹣．
﹣+3
【考点】二次根式的加减法．
【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．
【解答】解：原式=3=
21．解方程：3x〔x﹣1〕=2〔1﹣x〕． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：3x〔x﹣1〕=2〔1﹣x〕． 3x〔x﹣1〕+2〔x﹣1〕=0， 〔x﹣1〕〔3x+2〕=0， ∴x﹣1=0或3x+2=0， ∴x1=1，x2=﹣．
22．解方程：
．
+
．
+
﹣
+
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；因式分解﹣十字相乘法等；等式的性质；解一元一次方程．
=0，【分析】整理后把方程左边分解因式得出〔y﹣4〕〔3y﹣2〕推出方程y﹣4=0，3y﹣2=0，求出方程的解即可．
第13页〔共19页〕
【解答】解：，
移项合并同类项得：3y2﹣14y+8=0， 即〔y﹣4〕〔3y﹣2〕=0， ∴y﹣4=0，3y﹣2=0， ∴y1=4，
23．已知m=
，n=
，求m2﹣mn+n2的值．
．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】先将m2﹣mn+n2变形为〔m﹣n〕2+mn，然后将m和n的值代入求解即可．
【解答】解：∵m=n=
=﹣2﹣
，
=﹣2+
，
∴m2﹣mn+n2 =〔m﹣n〕2+mn =〔﹣2+=20﹣1 =19．
24．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE∥AD，交CA延长线交于点E，F是BE的中点，求证：AF⊥BE．
+2+
〕2+〔﹣2+
〕〔﹣2﹣
〕
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由AD平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠E=∠
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DAC，∠ABE=∠BAD，等量代换得到∠E=∠ABE，于是得到AE=AB，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵BE∥AD，
∴∠E=∠DAC，∠ABE=∠BAD， ∴∠E=∠ABE， ∴AE=AB，
∵F是BE的中点， ∴AF⊥BE．
四、〔本大题共3题，每题8分，总分值24分〕
25．一张画片长20厘米、宽16厘米，要在画片的外面镶上一条同样宽的金色纸条，使金色纸条的面积是画片面积的【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设金色纸边的宽度为x厘米，则挂图的长为〔20+2x〕厘米，宽就为〔16+2x〕厘米，根据题目条件列出方程即可． 【解答】解：设金色纸条的宽为x厘米
根据题意可列方程〔20+2x〕〔16+2x〕=20×16×〔1+整理得x2+18x﹣19=0， 解得x1=1，x2=﹣19，
但x2=﹣19不符合题意，舍去， 答：金色纸条的宽为1厘米．
26．如图，已知△ABC以边AB、AC为边向形外作等边△ABD和等边△ACE，联结BE、CD相交于点G． 求证：〔1〕BE=CD； 〔2〕∠DGB=60°．
〕，
，求金色纸条的宽．
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【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】〔1〕根据SAS即可证明△ADC≌△ABE，推出BE=DC． 〔2〕利用“8字型”证明∠DGB=∠DAB即可．
【解答】证：〔1〕∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°， ∴∠DAC=∠BAE， 在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE… ∴BE=CD．
〔2〕∵△ADC≌△ABE， ∴∠1=∠2，
∵∠1+∠AOD+∠DAB=180°和∠2+∠BOG+∠DGB=180°、∠AOD=∠BOG， ∴∠DGB=∠DAB=60°．
27．如图，在正方形ABDC中，把一个45°角的顶点放在D点，将这个45°角绕着D旋转，其两边与线段AB、BC分别交于E、F〔EF与AB不重合〕．
〔1〕自己画几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长．猜想：AE、EF、FC
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之间的数量关系： EF=AE+FC ； 〔2〕证明上述结论．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】〔1〕直接利用已知图形结合各线段度量得出答案；
〔2〕延长BC至E′′，使CE′=AE，连接DE′，利用旋转法证明△ADE≌△CDE′，根据已知证明∠FDE′=∠EDF=45°，可证△DEF≌△DE′F，再根据全等三角形的性质可得EF=AE+FC；
【解答】〔1〕解：猜想AE、EF、FC之间的数量关系：EF=AE+FC． 故答案为：EF=AE+FC；
〔2〕证明：如下图：连接EF，延长BC至E′′，使CE′=AE，连接DE′， 在△ADE和△CDE′中
，
∴△ADE≌△CDE′〔SAS〕， ∴DE=DE′，∠ADE=∠CDE′，
∠FDE′=∠FDC+∠CDE′=∠FDC+∠ADE=90°﹣∠EDF=45°， 在△DEF和△DE′F中
∴△DEF≌△DE′F〔SAS〕， ∴EF=E′F=CE′+FC=AE+FC．
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2017年3月30日
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