向量综合
【知识梳理】
一、与向量相关的概念
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量（如a,AB），向量的大小叫做向量的模，记作a,AB. 2、零向量：模为0的向量叫做零向量，记作0；它的方向是不确定的.
3、相等向量：①规定所有的零向量都相等；②模相等且方向相同的两个非零向量叫做相等向量. 4、负向量：模相等且方向相反的两个非零向量叫做互为负向量. 5、平行向量：方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量. 6、性质：（1）向量有两个要素：向量的大小和向量的方向； （2）零向量方向是任意的，它对应的几何图形是一个点；
（3）对于0是可以根据需要确定其方向的，因此0可看作与任意向量平行； （4）对于向量而言，平行与共线同义；
（5）相等向量、负向量、平行向量之间的关系：a=ba//b,c=−dc//d
二、向量的坐标表示：
1、单位向量：模为1的向量叫做单位向量。在平面直角坐标系内，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为i和j。
2、位置向量：将向量的起点置于坐标原点，则该向量称为位置向量。
3、正交分解：若向量能表示成两个相互垂直的向量i、j分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为
()i、j的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
4、平面上任何一向量a都有与它相等的位置向量OA，所以向量a也都可以用基本单位向量i、j表示：
22称该序实数对(x,y)为向量a的坐标，记作：a=(x,y)，它的模记为|a|=x+y。 a=OA=xi+yj，
5、设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则PQ=OQ−OP=(x2−x1,y2−y1) 三、向量的运算：
1、实数与非零向量a的乘积是一个向量，记作a,a的模和方向规定如下： （1）
a=a；
（2）当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当=0时，a为零向量.规定：R,0=0
2、设是一个实数，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)
（1）(x1,y1)(x2,y2)=(x1x2,y1y2) （2）(x1,y1)=(x1,y1)
3、向量平行：已知a、b为两个非零向量，且a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a//b的充要条件是x1y2=x2y1
=PP2（为任意实4、定比分点：若P(x,y)是直线PP11(x1,y1),P2(x2,y2)，且PP12上一点，坐标Px=数且−1），则称P分有向线段PP12所成比为，P点的坐标满足y=当=1时，P即为PP12中点。 四、两个向量的数量积：
1、两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，如果以O为起点，作OA=a，那么射线OA、OBOB=b，的夹角叫做向量a和b的夹角，其中0。当a与b同方向时，当a与b反方向时=180，=0，
x1+x21+ y1+y21+0与其它非零向量不谈夹角问题。
2、数量积的定义：ab=abcos, 叫做a与b的数量积; 规定0a=0，其中bcosR，叫向量b在a方向上的投影。
3、数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。 4、数量积的运算律： ①交换律成立：ab=ba
(a)b=(ab)=a(b)(R)
③分配律成立：(ab)c=acbc=c(ab)
②对实数的结合律成立：④乘法公式成立：
(a+b)(a−b)=a−b=a−b；
(ab)=a2ab+b=a2ab+b 特别注意：（1）结合律不成立：a(bc)(ab)c；
222222222（2）消去律不成立ab=ac不能得到b=c
（3）ab=0不能得到a=0或b=0
5、两个向量的数量积的坐标运算：
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2 6、向量数量积的性质：
（1）a⊥ba·b＝Ox1x2+y1y2=0
（2）当a与b同向时，ab=|a||b|,当a与b反向时，ab=−|a||b|,
一般地ab|a||b|, 特别地：aa=|a|2——向量运算与模的转化。 （3）求夹角：cos=cosa,b=abab=x1x2+y1y2x+yx2+y2212122
若ab0则a,b夹角为锐角或0； 若ab0则a,b夹角为钝角或180。 五、平面向量的基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1+2e2，e1、e2称为一组基底.
六、向量中一些常用的结论
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2）a−baba+b，特别地，
→→→→→→→→→→当a、 b同向或有0a+b=a+ba−b=a−b；
→→→→→→→→当a、 b反向或有0a−b=a+ba−b=a+b；
→→→→→→→→当a、 b不共线a−baba+b (这些和实数比较类似).
→→→→→→（3）在ABC中，①若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则其重心的坐标为Gx1+x2+x3y1+y2+y3,. 33②PG=1PA+PB+PCG为ABC的重心， 3()特别地PA+PB+PC=0P为ABC的重心； ③PAPB=PBPC=PCPAP为ABC的垂心；
→ABAC(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)； +④向量ABAC⑤OA=OB=OCO是ABC的外心；
（4）向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PA=PB+PC且+=1.
向量综合复习一
2)、B(4, 5)，且OP=OA+tAB（tR）. 当t= 时 0)、A(1, 1、已知点O(0, 点P在第二、四象限的角平分线上.
2、向量a=(k−1, k+2)，若a∥b，则k= . k−4)，b=(−2, 6)两点的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段 2)、P2(5, 3、若过P1(−1, PP12所成的比的值为 .
4、AD、BE分别为ABC的中线，若AD=a，BE=b，用a、b表示向量 AB= .
5、若 = . a =5， b =4， a−b =8，则 a+b 6、已知平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB+DC−2DA) (AB−AC)= 0，则ABC的形状是 三角形.
7、已知a=(3, −3)，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围为 )，b=(4, .
8、若两人提重为 的一桶水，夹角为，用力为F，则 = . G F 9、已知 a =2 b0，且关于x的方程x+ a x+a b=0有实根，则a与b 的夹角的取值范围是 .
10、把函数y=2x−4x+5的图像按向量a平移，得到y=2x的图像，且a⊥b c=(1, −1)，b c=4，则b= .
2221 )上 11、已知向量a=(x, x+1)，b=(1−x, t)，若函数f(x)=a b在区间(−1, 是增函数，则t的取值范围是 .
12、在同一个平面上有ABC及点O满足关系式：OA+BC=OB+CA=OC+
222222AB，则O为ABC的 心.
12213、已知OFQ的面积为S，且OF与FQ的数量积为1，若 ＜ S ＜ 2，向量 OF与FQ的夹角的取值范围是 .
14、已知向量OP=(2, 1) ，OA=(1, 7)，OB=(5, 1) ，设X是直线OP上的一点（O 为坐标原点），当XA XB取得最小值时，AXB的大小应为 .
15、设函数f(x)=a 1 )，b=(cosx, 3sin2x+m). 若 b，其中a=(2cosx, f(x) ＜ 4恒成立，则m的取值范围是 . ， x0, 616、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的 夹角为120，如图8-13-1所示，点C在以O为 圆心的圆弧AB上移动. 若OC=xOA+yOB，其中 x、yR，则x+y的最大值是 .
图8-13-1
a1, a2) b1, )b2. 定义一种向量积a b=( a1, a2) ( b1, b2)= 17、设a=( ，b=(
1( a1b1, a2b2)，已知m=2,，n= y)在y=sinx的图像 0，点P(x, , 32 上运动，点Q在y=f(x)的图像上运动，且满足OQ=mOP+n（其中O 为坐标原点）. 求y=f(x)的最大值A及最小正周期T.
18、已知向量a=(sin(x+), cos(x+))（ 2)，b=(1, ＞ 0，0 ＜ ＜ ）
2 函数f(x)=(a+b) (a−b)，y=f(x)的图像的相邻两对称轴之间距离为2
，求f(0)+f(1)+f(2)+ 且过点M1,
72+f(2009)的值.
向量综合复习二
2)、B(4, 5)，且OP=OA+tAB（tR） 0)、A(1, 1、已知点O(0, ， 若点P在
第二象限，则t的取值范围是 .
2、设向量a(3, 4)，a⊥b，则向量b的单位向量是 .
2)、B(3, −2)、C(9, 7)，若E、F为线段 3、在平面直角坐标系中有三点A(1, BC的三等分点，则AE AF= .
4、已知AD、BE、CF为ABC的中线，G为重心，AD=m，AC=b，若用 m、b表示CF，则CF= .
5、若 = . a =5， b =4， a+b =32，则 a−b ABABAC1AC 6、已知向量AB与AC满足+ BC=0，且 =， AB AC AB AC 2 则ABC为 三角形.
7、若a=(, 5)，且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是 2)，b=(−3, .
1 5)移动到点 8、两个恒力f1=i+2j、f2=4i+6j作用于同一质点，将点A(20, 0)，则f1、f2的合力对质点所做的功的大小为 . B(7, 9、在ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，m=(2b−c, ) a， n=(cosA, cos−C)，且m⊥n，则角A的大小为 . 10、将函数y=2x+1的图像按向量a平移得到函数y=2x+1的图像，则与a垂直
的单位向量为 .
11、若a=(cos, ，k＞0， ka+b =3 a−kb sin)，b=(cos, sin)，且 kR，当k= 时，a b有最小值.
12、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=
ABAC，(0, +)，则P的轨迹一定通过ABC的 心. OA++ AB AC 13、已知ABC的面积为3，且0AB AC6，设AB和AC的夹角为，则 的取值范围是 .
14、在RtABC中，A=90，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点， 当PQ与BC的夹角= 时，BP CQ的值最大. 15、已知二次函数f(x)对任意xR都有f(x)＜0 且f(1−x)=f(1+x)成立. 设向量a=(sinx, 2) b=(2sinx, 1 )，d=(1, ) 2，当 )，c=(cosx, x是三角形内角时，不等式f(a b)＞f(c d) 的解集为 .
122
图8-14-1
16、如图8-14-1，两块斜边长相等的直角三角形拼在一起，若AD=xAB+yAC 则x= ，y= .
AC17、已知M是ABC内一点，且AB =23，BAC=30，定义f(M)=
（m，n，p），其中m、n、p分别是MBC、MCA、MAB的面积. 若f(M)=（
18、设D是正PP12P3及内部的点构成的集合，点P0是PP12P3的中心. 若集合
141，x，y），求+的最小值.
xy2PPD, PP0 ＜ PPi , i=1,2,3，求集合S表示的平面区域. S=
向量综合复习三
2)、B(4, 5)，且OP=OA+tAB（tR）. 当t= 时 0)、A(1, 1、已知点O(0, 点P在x轴上.
3)，AB与a平行，且 2、已知a=(3, AB =213，则向 −2)，点B的坐标为(2, 量OA的坐标为 .
3、已知向量a=(1, 2)，b=(−3, 2)，当k= 时，ka+b与a−3b平行. 4、若D、E分别是ABC的边BC、CA上的点，且BD= AB=a，AC=b，则DE= .
5、若向量a、b满足 a =1， b =2，且a与b的夹角为
11BC，CE=CA， 333，则 = . a+b ab + c=0（＞6、已知BA=a，BC=b，AC=c，且满足，则 0）
a b ABC的形状为 三角形.
7、已知a=(−2, 1) −，b=(, 1) ，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是 .
8、用两条夹角为60的绳索拉船，每条绳索上的拉力为12N，则合力为 （精确到0.1N）.
9、已知 a =3， b =2，且a与b的夹角为 弦值为 .
10、函数y=sin2x的图像按向量a平移后，所得图像的函数解析式是y=cos2x+1，
则满足条件的所有向量a可表示为 . 11、设a=(4, 3)，a在b上的投影为 则b为 .
12、已知O在ABC所在平面内，且OA+OB+OC=0，则O为ABC的 心.
6，则a+2b与a−b的夹角的余
52，b在x轴上的投影为2，且 b 14， 2 S＜ 3，向量OA 13、已知OAB的面积为S，且OA 和AB的 AB=2，若1＜ 夹角为，则的取值范围是 .
0)、(0, 1 )，点P在线段AB 14、已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为(1, 上，且AP=AB（01）. 若OP ABPA PB，则OB OP的取值 范围为 .
15、已知向量m=(cos, sin)，n=(2−sin, cos)，,2. 若
m+n = 82，则cos+= . 52816、如图8-15-1，OM//AB，点P在由射线OM、
线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边 界）运动，且OP=xOA+yOB，则x的取值范 围是 ；当x=− 是 .
图8-15-1 0)、B(n, t)、17、在平面直角坐标系中，已知向量a=(−1, 2)，且点A(8, 1时，y的取值范围 2
t)（0 C(ksin, 2）.
（1）若AB⊥a，且 ，求向量OB； AB =5 OA （2）若向量AC与a平行，当k＞ 4，且tsin取最大值4时，求OA OC. 18、已知向量p//q，其中p=(x+c−1, 1) ，q=(ax2+1, ) y（a、c、x、yR且 a＞，把其中x、y所满足的关系式记为y=f(x). 若函数f(x) 0，x1−c） 为奇函数，且当x＞ 0时，f(x)有最小值22. （1）求函数f(x)的表达式；
（2）记数列an、bn满足如下关系：an+1= （nN）且b1=*a−1f(an)−an，an=n
an+121，求数列bn的通项公式； 3 （3）在（2）的条件下，求数列(3n−1)log1bn的前n项的和Sn.
3
