上海市闵行区2021年高三数学高考二模卷带解析 2021年4月

闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．

4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．设集合A{x|x23x40}，B{x|2x2}，则A2．复数zB ．

12i(i为虚数单位）的共轭复数为 ． i13．在无穷等比数列an中，a21,a5,则lim(a1a2an) ．

n27sinx14．已知函数f(x)，若f(a)2021，则f(a) ． 13x1345．已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P，．

55则cos2 ．

x1t,6．若直线l的参数方程为(tR)，则直线l的倾斜角为 ．

y13t27．在1的二项展开式中，中间一项的系数为 ．（用数字作答）

x8．如右图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为 ．

6x2y29．已知双曲线221(a0,b0)的两焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，

abPF2x轴，且PF2是PF1与F1F2的等差中项，则双曲线的渐近线方程为 .

10．若四边形ABCD是边长为4的菱形，P为其所在平面上的任意点，则

PAPCPBPD的取值范围是 .

ππ2π3πtanx,x2,33,2，11．已知函数fx若fx在区间D上的最大值存

π2π63x33,x，，33π在，记该最大值为KD，则满足等式K0,a3Ka,2a的实数a的取值集合

是 .

12．已知数列an（nN*）满足an1a2a1a3a2且a11，a2aa1，则a1a2a3

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考

生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设p:log2x0，q:x1，则p是q成立的（ ）

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件

(C) 充要条件 (D) 既非充分亦非必要条件

π14．右图是函数fxsinπx在一个周期内的图像，该图像

6分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外

anan1（n2）,

a24= ．(结果用含a的式子表示)

i为x轴上的基本单位向量，两点C、则BCBDi（ ） D，

(A) 1 (B)  (C) 15．已知函数fxx+①

5655 (D) 63a（a0），0x1x2， 且fx1fx2，给出以下结论: xx1x2a恒成立；②f2ax1fx2恒成立.则（ ） 2(A) ①正确，②正确 (B) ①正确，②错误

(C) ①错误，②正确 (D) ①错误，②错误

16．在直角坐标平面上，到两条直线y0与yx的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面积是（ ）

(A) 18 (B) 182 (C) 36 (D) 362

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数f(x)log22x1．

(1) 证明f(x)在区间(,)上是增函数；

(2) 若函数F(x)mf(x)在区间[0,2]上存在零点，求实数m的取值范围．

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥MABCD中，已知AM平面ABCD，ABAD，AB//CD，AB2CD，且ABAMAD2． (1) 求四棱锥MABCD的体积；

(2) 求直线MC与平面ADM所成的角．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为20米，顶角为30，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线DE表示（D、E两点分别在腰

． AB、AC上，以下结果精确到0.01）

(1) 如果曲线DE是以A为圆心的一段圆弧（如图1），求AD的长；

(2) 如果曲线DE是直道（如图2），求ADAE的最小值，并求此时直道DE的长度．



20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

x2如图，已知椭圆:y21的左右顶点分别为

4A、B，P是椭圆上异于A、B的一点，直线l:x4，直线AP、BP分别交直线l于两点C、D，线段CD的中点为E.

(1)设直线AP、BP的斜率分别为kAP、kBP，求kAPkBP的值；

(2)设△ABP、△ABC的面积分别为S1、S2，如果

S22S1，求直线AP的方程；

(3) 在x轴上是否存在定点Nn,0，使得当直线NP、NE的斜率kNP、kNE存在时，

kNPkNE为定值？若存在，求出kNPkNE的值；若不存在，请说明理由.

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 对于有限集Sa1,a2,a3,,am1,am（mN*,m3），如果存在函数f(x)（f(x)=x除外），其图像在区间D上是一段连续曲线，且满足fSS，其中

fSfxxS,SD，那么称这个函数f(x)是P变换，集合S是P集合，数列a1,a2,a3,,am1,am是P数列.

例如，S=1,2,3是P集合，此时函数f(x)4x是P变换，数列1,2,3或3,2,1等都是P数列．

(1)判断数列1,2,5,8,9是否是P数列？说明理由；

(2)若各项均为正数的递增数列an（1n2021,nN*）是P数列，若P变换

fxajai

9，求a1a2a2021的值； x(3)元素都是正数的有限集Sa1,a2,a3,,am1,am（mN*,m3），若aiaj，

总有

S，其中1i,jm．试判断集合S是否是P集合？请说明理由．

闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试

数学试卷参与评分标准

一. 填空题 1．1,2； 2．2i； 3．

97； 4．2021； 5．； 6．；

32251647，；12．23a210. 7．160；8．；9．y22x； 10．0,16； 11．51912二. 选择题 13．A； 14．D； 15．A； 16．B．

三. 解答题

17．[证明]（1）任取x1x2，则:

2x11f(x1)f(x2)log221log221log2x2，…………2分

21x1x2,02x112x21x1x2

2x112x110x21,log2x20， ………………………4分

2121f(x1)f(x2)，即函数f(x)在(,)上单调递增. …… 6分

[解]（2）

F(x)mlog22x1在[0,2]上存在零点

所以只需求函数mlog22x1在[0,2]上的值域， ……………8分 由（1）可知函数mlog22x1在[0,2]上是减函数， …………10分 所以log2221mlog2201， ………………………12分 即log25m1，

所以m的取值范围为log25,1． ………………………14分

18．[解]（1）在梯形ABCD中，AB2，2CDAB，则CD1

1所以SABCD(ABCD)AD=3，………………………2分

2又四棱锥MABCD的高hAM2，

1所以棱锥MABCD的体积VSABCDh2．…………6分

3（2）AM平面ABCD，CD平面ABCD内

所以AMCD， ………………………8分 ABAD,AB//CD，CDAD．所以CD面ADM，

所以CMD为直线MC与平面ADM所成的角．………………………10分 Rt△CDM中，CD1，MD22

12tanCMD, ………………………12分

422

所以CMDarctan2 42.………………………14分 4即直线MC与平面ADM所成的角为arctan19．[解]（1）设ADx，依题知，扇形DAE的面积为S扇形DAE=又△ABC的面积为S△ABC由S扇形DAE=12x……2分 261202sin30100 21S△ABC得 212x=50 ………………………4分 266002解得x=，x13.82（米）

故AD的长约为13.82米 ………………………6分

（2）如图2，线段DE平分△ABC的面积.设ADx,AEy，

1由SADESABC知xy200 ………………………8分

2又ADAExy2xy202(当且仅当xy=102时取等号)，……10分 此时ADAE20228.28（米）， ………………………12分

DE=2x22x2cos307.32（米）

综上，ADAE的最小值约为28.28米，此时直道DE的长度约为7.32米．…14分

(2,0)， 2分 20．[解]（1）可求点A、B的坐标分别为(2,0)、x2设P(x,y)，则y1，

42x21yyy21所以kAPkBP224；…4分

x2x2x4x44（2）设点P2cos,sin(sin0)，

sinx2………………………6分

2cos23sin3sin令x4得y，所以点C的坐标为4,………8分

cos1cos13sin132sin，所以cos,sin由S22S1得，

22cos13所以直线AP的方程为yx2.………………………10分

6则直线AP的方程为y

（3）同（2），设点P2cos,sin(sin0)，

sinx2

2cos2sin同理可求直线BP的方程为：yx2，

2cos2sinsin令x4得y， 所以点D的坐标为4,cos1cos1 24cosCD中点E4, ………………………12分

sin24cossinkNPkNEsin

2cosn4n24cos24cos………………………14分 2cosn4nnn424ncos24要使kNPkNE为定值，只需， nn424n直线AP的方程为y解得n1，此时kNPkNE2 3所以在x轴上存在定点N1,0，使得kNPkNE为定值2.………16分 3

21． [解]（1）记S1,2,5,8,9，存在函数f(x)10x，……………2分 使得fSS，所以数列1,2,5,8,9是P数列．………………………4分 （2）因为函数fx所以

999a1a2a39在区间0,上是减函数， x99，………………………6分 a2020a2021*因为递增数列an（1n2021,nN）是P数列， 所以

99a2021,a2020,a1a2,9a2022n,an,9a2020a2,9a2021a1……8分

记Aa1a2所以a1a2a32a2021，则Aa1a2021a2a2020ana2022na2021a192021

a202132021． ………………………10分

(3)不妨设a1a2a3am1am

aaaaa1°当a11时，考察234m1m

a1a1a1a1a1因为a2a3a4aa,,,,m1,mS，故a11，

a1a1a1a1a1

aaaa2aa1,3a2,4a3,,m1am2,mam1，…………12分 a1a1a1a1a1an即na12nm所以an1nm是等比数列，ana11nm， an1且

a1m1此时存在P变换fx，使得fSS，故集合S是P集合．………14分

xa3a4aam1m 2°当a11时，考察a11a2,a2a2a2a2a3a4aa,,,m1,mS，

a2a2a2a2aaaa故3a2,4a3,,m1am2,mam1，………………………16分 a2a2a2a2an1即na23nm，所以an1nm是等比数列，ana21nm，an1因为a2m1此时存在P变换fx，使得fSS，故集合S是一个P集合．

x综合1°2°可知，集合S是一个P集合．………………………18分