2021-2022学年山东省潍坊市安丘高级中学高二数学文下学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知数列

对任意的

满足

，且

，那么

等于（ ）

A．

B． C．

D．

参：

B

2. 已知F1、F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，如果△PF1F2是直角三角形，

这样的点P有（ ）个。

A．8 B．6 C．4 D．2

参：

B 略

3. ①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，

②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”； ③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件； 则其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

参：

B

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】由复合命题的真假判断方法判断①；写出命题的否命题判断②，距离说明③是假命题． 【解答】解：①∵p，q中只要有一个假命题，就有p∧q为假命题，∴命题①错误；

②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是x，y∈R，“若xy≠0，则x2+y2≠0”是真命题”； ③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件为假命题，当直线与抛物线对称轴平行时，直线和抛物线也只有一个公共点．

∴真命题的个数是1个． 故选B．

4. 设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）

A．直线l过点

B．x和y的相关系数为直线l的斜率

C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

参：

A

【考点】BK：线性回归方程．

【分析】回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，是在﹣1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的．

【解答】解：回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A正确， 两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B不正确， 直线斜率为负，相关系数应在（﹣1，0）之间，故C不正确， 所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D不正确， 故选A．

【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查相关系数的做法，考查样本点的分布

特点，是一个基础题．

5. 下列命题中，真命题是（ ）

A．?x≤0 B．?x∈R，2x＞x20∈R，

C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

参：

D

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用． 【专题】计算题．

【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误； 通过特例判断，全称命题判断B的正误； 通过充要条件判断C、D的正误；

【解答】解：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确； 因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立． a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确； a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确． 故选D．

【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用．

6. 数列满足且,则（ ）

A. B.

C.

D.

参：

A 略

7. 如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形（每次旋转90°仍为L形的图案），那么在5×6个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形需案的个数是（）

A. 36 B. C. 80 D. 96

参：

C 【分析】

把问题分割成每一个“田”字里，求解.

【详解】每一个“田”字里有4个“L”形，如图

因为5×6的方格纸内共有

个“田”字，所以共有

个“L”形..

【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题. 8. 下列关于基本的逻辑结构说法正确的是（ ）

A．一个算法一定含有顺序结构； B.一个算法一定含有选择结构； C.一个算法一定含有循环结构； D. 以上都不对.

参：

A 略

9. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2

﹣=1的渐近线的距离是（ ）

A． B．

C．1 D．

参：

B

【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±

x，化成一般式得：

，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．

【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x

∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）

又∵双曲线的方程为

∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=， 双曲线的渐近线方程为y=±

，即y=±

x，

化成一般式得：

．

因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==

故选：B

【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 10. 命题“”的逆否命题是 (

)

A． B． C．

D.

参：

D 略

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，若

?

=4，则

?

= ．

参：

首先由已知求出角A的余弦值，然后利用平面向量的三角形法则将?

用梯形的各边表示，展开分

别求数量积即可．

解：由已知得到cos∠A=，

AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点， 若?

=4，则

?

=（

）（

）

= =2×3×

+

﹣1×3

=

； 故答案为：．

12. 在ΔABC中，若，则角A= .

参： .300 略

13. 在直角坐标系中，直线

的斜率是 ▲

参：

14. 函数的导数为

参：

15. 由1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的四位数，则所有这些四位数的个位数字的和为 ．

参：

360

【考点】D8：排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，按个位数字的不同分5种情况讨论，每种情况下求出满足题意的四位数数目，计算可得这些四位数个位数字的和，将5种情况下的四位数“个位数字的和”相加，即可得答案． 【解答】解：根据题意，分5种情况讨论：

①、当个位数字为1时，在2、3、4、5四个数中任取3个，安排在前3个数位，有A3

4=24种情况，

即当个位数字为1时，有24个满足题意的四位数， 则其个位数字的和为1×24=24，

②、当个位数字为2时，同理可得有24个满足题意的四位数， 则其个位数字的和为2×24=48，

③、当个位数字为3时，同理可得有24个满足题意的四位数， 则其个位数字的和为3×24=72，

④、当个位数字为4时，同理可得有24个满足题意的四位数， 则其个位数字的和为4×24=96，

⑤、当个位数字为5时，同理可得有24个满足题意的四位数， 则其个位数字的和为5×24=120，

则所有这些四位数的个位数字的和为24+48+72+96+120=360； 故答案为：360．

16. 用数学归纳法证明

，在验证n=1成立时，等式左

边是 ▲ .

参：

17. 若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长为_______________.

参：

解析：当时，；

当时，

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18.

（12分）

(1)求边AC所在的直线方程；

(2)求AC边上的中线BD所在的直线的方程。

参：

(1)直线AC的方程为x-2y+8=0

(2)设D点的坐标为（x,y）由中点坐标公式可得x=-4，y=2. 容易得BD所在直线的方程为2x-y+10=0

19. （本小题满分12分）

（本小题满分5分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵,A的一个特征值，属于λ的特征向量是.,求矩阵A与其

逆矩阵. 参：

解:（1） ①由

，得，解得，……3分

A-1

=

…………………5分

略

20. (13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花. ⑴ 如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少不同的种植方法？

如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少不同的种植方法？

⑵ 如图3，圆环分成的n等份为a1，a2，a3，……，an，有多少不同的种植方法？

参：

21. 天虹纺织公司 为了检查某种产品的质量，决定从60件中抽取12件。请用随机数表法抽取这一样本 。

参：

解析：第一步： 给60个样本编号01，02，……，60

第二步：从随机数表的第13行4列开始读取遇到右边线向下读一行。抽取到的样本号码如下：02 ，06，10，16， 18，20，32，36， 40，45，56，59， 22. 选修4﹣4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为（其中α为参数），M是曲线C1上的动点，且M是线段OP的

中点，（其中O点为坐标原点），P点的轨迹为曲线C2，直线l的方程为ρsin（θ+）=

，直线

l与曲线C2交于A，B两点． （1）求曲线C2的普通方程； （2）求线段AB的长．

参：

【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】（1）把曲线C1的参数方乘化为普通方程，设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标，再把点M的坐标代入C1的普通方程化简可得所求．

（2）求得直线l的直角坐标方程，求出圆心（0，4）到直线的距离d，利用弦长公式求出线段AB 的值．

【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（其中α为参数），消去参数化为普通方

程为 x2+（y﹣2）2=4．

设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标为（，）．

再由M是曲线C1上的动点可得+=4，即 x2+（y﹣4）2=16．故曲线C2的普通方程

为 x2+（y﹣4）2=16．

（2）直线l 的方程为ρsin（θ+）=，即 ρcosθ+ρsinθ=2，即 x+y﹣2=0．

由于圆心（0，4）到直线的距离等于d==，圆的半径等于4，

∴线段AB=2=2．