安徽省合肥市第十一中学2022-2021学年高二数学下学期期中试题〔A
卷〕理〔含解析〕
一、选择题〔每题5分〕.
1．f〔x〕＝ln〔2x+1〕﹣ax，且f'〔2〕＝﹣1，那么a＝〔 〕 A．
B．
C．
D．
2．将3封信入2个邮箱，共有〔 〕种投法． A．3
B．4
C．6
D．8
3．y＝xf′〔x〕的图像如下图〔其中f′〔x〕是函数f〔x〕的导函数〕，那么y＝f〔x〕的图像大致是〔 〕
A． B．
C． D．
4．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，甲、乙是否命中目标相互之间无影响．现在甲、乙两人同时射击目标一次，那么目标被击中的概率是〔 〕 A．
B．
C．
D．
5．盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，那么在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为〔 〕 A．
B．
C．
D．
6．假设〔2﹣3x〕6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，那么a1+a2+a3+…+a6等于〔 〕 A．﹣4
B．4
C．﹣
D．﹣63
- 1 -
7．随机变量X服从二项分布，即X～B〔n，p〕，且E〔X〕＝2，D〔X〕＝1.6，那么二项分布的参数n，p的值为〔 〕 A．n＝4，p＝ B．n＝6，p＝
C．n＝8，p＝ D．n＝10，p＝
8．的展开式中x6y4
项的系数是〔 〕
A．840
B．﹣840
C．210
D．﹣210
9．由1，2，3，4，5五个数字可以组成多少个无重复数字且1和2相邻的五位数〔 A．24
B．48
C．12
D．120
10．假设直线l：y＝2ex+b是曲线y＝2lnx的切线，那么实数b＝〔 〕 A．﹣4 B．﹣2
C．
D．e
11．函数
的图象大致为〔 〕
A．
B．
C．
D．
12．关于x的不等式x3﹣ax2≥lnx恒成立，那么实数a的取值范围为〔 〕 A．〔﹣∞，1]
B．〔0，1]
C．
D．〔﹣∞，0]
二、填空题〔大题共4小题，每题5分，共20分〕
- 2 -
〕13．某物体的运动方程是s＝t﹣4t+5，假设此物体在t＝t0时的瞬时速度为0，那么t0＝ ． 14．随机变量X～N〔1，σ〕，假设P〔X＞2〕＝0.2，那么P〔X＞0〕＝ ． 15．〔x+﹣1〕5的展开式中含x3项的系数为 〔用数字作答〕．
16．将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为 ．
三．解答题〔大题共6小题，总分值70分．解答题应写出文字说明及演算步骤〕
17．箱中装有大小形状相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取3个球，记随机变量X为取出此3球所得分之和． 〔1〕求X的所有可能的取值； 〔2〕求X的分布列．
18．函数f〔x〕＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值． 〔1〕求a，b的值
〔2〕求f〔x〕在[﹣4，4]内的最值．
19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量．最近，某研究性学习小组就是否观过电影?夺冠〔中国女排〕?对影迷们随机进行了一次抽样调查，调数据如表〔单位：人〕．
青年 中年 合计
是 40 30 70
否 10 20 30
合计 50 50 100
2
2
〔1〕现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影?夺冠〔中国女排〕?的概率：
〔2〕将频率视为概率，假设从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影?夺冠〔中国女排〕?的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差． 20．设a为实数，函数f〔x〕＝ex﹣2x+2a，x∈R． 〔1〕求f〔x〕的单调区间与极值；
〔2〕求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．
21．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位X〔单位：米〕的频率分布
- 3 -
表如下： 最高水位X〔单位：米〕 频率
0.15
0.44
0.36
0.04
0.01
[23，25〕
[25，27〕
[27，29〕
[29，31〕
[31，33]
将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互． 〔1〕求在未来3年里，至多有1年河流最高水位X∈[25，29〕的概率；
〔2〕该河流对沿河一蔬菜科植户影响如下：当X∈[23，25〕时，因河流水位较低，影响蔬菜正常灌溉，导致蔬菜干旱，造成损失；当X∈[29，33]时，因河流水位过高，导致蔬菜内涝，造成损失．现有三种应对方案： 方案一：不采取措施，蔬菜销售收入情况如表： 最高水位X〔单位：米〕 蔬菜销售收入〔单位：
元〕
方案二：只建设引水灌溉设施，每年需要建设费5000元，蔬菜销售收入情况如表； 最高水位X〔单位：米〕 蔬菜销售收入〔单位：
元〕
方案三：建设灌溉和排涝配套设施，每年需要建设费7000元，蔬菜销售收入情况如表： 最高水位X〔单位：米〕 蔬菜销售收入〔单位：
元〕
每年的蔬菜种植本钱为60000元，请你根据三种方案下该蔬菜种植户所获利润的均值为依据，比拟哪种方案较好，并说明理由．
〔注：蔬菜种植户所获利润＝蔬菜销售收入﹣蔬菜种植本钱﹣建设费〕 22．函数f〔x〕＝+alnx，a∈R． 〔1〕求函数f〔x〕的单调递减区间；
〔2〕当x∈[，1]时，f〔x〕的最小值是0，求实数a的值．
参
- 4 -
[23，25〕 40000
[25，29〕 120000
[29，33]
0
[23，25〕 70000
[25，29〕 120000
[29，33]
0
[23，25〕 70000
[25，29〕 120000
[29，33] 70000
一、选择题〔共12小题〕.
1．f〔x〕＝ln〔2x+1〕﹣ax，且f'〔2〕＝﹣1，那么a＝〔 〕 A． 解：∴应选：A．
2．将3封信入2个邮箱，共有〔 〕种投法． A．3
B．4
C．6
D．8
B． ， ，解得
．
C．
D．
解：根据题意，将3封信入2个邮箱，每一封信有2种投法， 那么3封信有2×2×2＝8种投法， 应选：D．
3．y＝xf′〔x〕的图像如下图〔其中f′〔x〕是函数f〔x〕的导函数〕，那么y＝f〔x〕的图像大致是〔 〕
A． B．
C． D．
解：根据y＝xf′〔x〕的图象可看出：x＜﹣1时，f′〔x〕＞0；﹣1＜x＜0时，f′〔x〕＜0；0＜x＜1时，f′〔x〕＜0；x＞1时，f′〔x〕＞0，
∴x∈〔﹣∞，﹣1〕时，f〔x〕是增函数；x∈〔﹣1，0〕时，f〔x〕是减函数；x∈〔0，1〕时，f〔x〕是减函数；x∈〔1，+∞〕时，f〔x〕是增函数， ∴符合条件的y＝f〔x〕的图象大致是C． 应选：C．
- 5 -
4．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，甲、乙是否命中目标相互之间无影响．现在甲、乙两人同时射击目标一次，那么目标被击中的概率是〔 〕 A．
B．
C．
D．
解：甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，
甲、乙是否命中目标相互之间无影响．现在甲、乙两人同时射击目标一次， 目标被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中目标， 那么目标被击中的概率是：P＝1﹣〔1﹣〕〔1﹣〕＝． 应选：C．
5．盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，那么在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为〔 〕 A．
B．
C．
D．
解：盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着， 需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回， 设事件A表示“他第1次抽到的是螺口灯泡〞， 事件B表示“他第2次抽到的是卡口灯泡〞，
P〔A〕＝＝，P〔AB〕＝＝，
那么在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为：
P〔B|A〕＝＝＝．
应选：C．
6．假设〔2﹣3x〕6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，那么a1+a2+a3+…+a6等于〔 〕 A．﹣4
B．4
C．﹣
D．﹣63
解：∵〔2﹣3x〕6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，令x＝0，可得a0＝， 再令x＝1，可得+a1+a2+a3+…+a6＝1，∴a1+a2+a3+…+a6＝﹣63， 应选：D．
7．随机变量X服从二项分布，即X～B〔n，p〕，且E〔X〕＝2，D〔X〕＝1.6，那么二项分
- 6 -
布的参数n，p的值为〔 〕 A．n＝4，p＝
B．n＝6，p＝
C．n＝8，p＝
D．n＝10，p＝
解：随机变量X服从二项分布，即X～B〔n，p〕，且E〔X〕＝2，D〔X〕＝1.6， 可得np＝2，np〔1﹣p〕＝1.6，解得p＝0.2，n＝10， 应选：D． 8．A．840 解：令
的展开式中x6y4项的系数是〔 〕
B．﹣840 的通项为得r＝4
C．210
＝
D．﹣210
故展开式中xy项的系数是应选：A．
＝840
9．由1，2，3，4，5五个数字可以组成多少个无重复数字且1和2相邻的五位数〔 〕 A．24
B．48
C．12
D．120
解：根据题意，要求1和2相邻，将这两个数字看成一个整体，考虑其顺序，有2种情况， 将这个整体与3、4、5全排列，有A44＝24种情况， 那么有2×24＝48个1和2相邻的五位数， 应选：B．
10．假设直线l：y＝2ex+b是曲线y＝2lnx的切线，那么实数b＝〔 〕 A．﹣4
B．﹣2
C．
D．e
解：设l：y＝2ex+b与曲线y＝2lnx相切于点〔x0，2lnx0〕， 那么l的方程为故
，解得
，
，即
，
那么直线l：y＝2ex﹣4，∴b＝﹣4， 应选：A． 11．函数
的图象大致为〔 〕
- 7 -
A．
B．
C．
D．
解：设f〔x〕＝，
那么f〔﹣x〕＝
＝﹣
＝﹣f〔x〕，
故函数f〔x〕为奇函数，图象关于原点对称，应选项C错误； 又f〔﹣π〕＝
，应选项A错误；
当x→+∞时，x+sinx＞0，所以f〔x〕＞0，应选项D错误，选项B正确． 应选：B．
．关于x的不等式x3
﹣ax2
≥lnx恒成立，那么实数a的取值范围为〔 〕 A．〔﹣∞，1]
B．〔0，1]
C．
D．〔﹣∞，0]
解：关于x的不等式x3﹣ax2≥lnx对x＞0恒成立， 可得a≤
恒成立，
设f〔x〕＝，那么f′〔x〕＝，
- 8 -
12 令g〔x〕＝x﹣1+2lnx，g′〔x〕＝2x+＞0， 可得g〔x〕＝x3﹣1+2lnx在〔0，+∞〕递增，
且g〔1〕＝0，当0＜x＜1时，g〔x〕＜0，f′〔x〕＜0，f〔x〕递减； 当x＞1时，g〔x〕＞0，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增， 可得f〔x〕在x＝1处取得极小值，且为最小值1， 那么a≤1，即a的取值范围是〔﹣∞，1]． 应选：A．
二、填空题〔大题共4小题，每题5分，共20分〕
13．某物体的运动方程是s＝t2﹣4t+5，假设此物体在t＝t0时的瞬时速度为0，那么t0＝ 2 ． 解：∵s′＝2t﹣4，
又物体在t＝t0时的瞬时速度为0， ∴2t0﹣4＝0，解得t0＝2． 故答案为：2．
14．随机变量X～N〔1，σ〕，假设P〔X＞2〕＝0.2，那么P〔X＞0〕＝ 0.8 ． 解：∵随机变量X～N〔1，σ2〕， ∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝1．
又P〔X＞2〕＝0.2，∴P〔X＜0〕＝P〔X＞2〕＝0.2， 那么P〔X＞0〕＝1﹣P〔X＜0〕＝1﹣0.2＝0.8． 故答案为：0.8．
15．〔x+﹣1〕5的展开式中含x3项的系数为 20 〔用数字作答〕． 解：因为〔x+
5
2
32
表示5个因式〔x+〕的乘积，
3
故有3个因式应取x，2个因式取﹣1，或者4个因式取x，1个因式取，可得含x项， 故展开式中含x3项的系数为C故答案为：20．
16．将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为 150 ．
解：根据题意，先将5名志愿者分为3组，
+C＝10+10＝20，
- 9 -
有2种分组方法，①分为2、2、1的三组，有＝15种方法，
②分为3、1、1的三组，有那么共有10+15＝25种分组方法，
＝10种方法，
再将分好的三组对应3个不同的场馆，有A3＝6种情况， 那么共有25×6＝150种不同的分配方案； 故答案为150．
三．解答题〔大题共6小题，总分值70分．解答题应写出文字说明及演算步骤〕
17．箱中装有大小形状相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取3个球，记随机变量X为取出此3球所得分之和． 〔1〕求X的所有可能的取值； 〔2〕求X的分布列．
解：〔1〕从该箱中任取〔无放回，且每球取到的时机均等〕3个球， 全是白球得6分，1黑球2白球得5分，2黑球1白球得4分，3黑球得3分， 所以X的可能取值为3，4，5，6． 〔2〕
，
3
，
，
，
所以X的分布列为：
X p
3
4
5
6
18．函数f〔x〕＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值． 〔1〕求a，b的值
- 10 -
〔2〕求f〔x〕在[﹣4，4]内的最值． 解：〔1〕f′〔x〕＝3ax+2bx﹣3，
由题意可得f′〔x〕＝3ax+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，
22
那么，
解可得a＝，b＝﹣1，
〔2〕由〔1〕f′〔x〕＝〔x﹣3〕〔x+1〕，
易得f〔x〕在〔﹣∞，﹣1〕，〔3，+∞〕单调递增，在〔﹣1，3〕上单调递减， 又f〔﹣4〕＝﹣
，f〔﹣1〕＝，f〔3〕＝﹣9，f〔4〕＝﹣
，f〔x〕max＝f〔﹣1〕＝．
，
所以f〔x〕min＝f〔﹣4〕＝﹣
19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量．最近，某研究性学习小组就是否观过电影?夺冠〔中国女排〕?对影迷们随机进行了一次抽样调查，调数据如表〔单位：人〕．
青年 中年 合计
是 40 30 70
否 10 20 30
合计 50 50 100
〔1〕现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影?夺冠〔中国女排〕?的概率：
〔2〕将频率视为概率，假设从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影?夺冠〔中国女排〕?的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差．
解：〔1〕依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中， 观看过电影的有
〔人〕，没观看过的有2人，
记抽取的3人中有i人观看过电影为事件Ai〔i＝1，2，3〕． 那么
，
，
- 11 -
从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影的概率为：
．
〔2〕由题意知，观看过该电影的频率为那么随机变量ξ服从二项分布
，
方差为
x，将频率视为概率，
，所以随机变量ξ的数学期望为
．
20．设a为实数，函数f〔x〕＝e﹣2x+2a，x∈R． 〔1〕求f〔x〕的单调区间与极值；
〔2〕求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1． 解：〔1〕解：由f〔x〕＝ex﹣2x+2a，x∈R， 知，f′〔x〕＝e﹣2，x∈R，
令f′〔x〕＝0，得x＝ln2，于是，当x变化时，f′〔x〕和f〔x〕的变化情况如下表：
xx f′〔x〕 f〔x〕
〔﹣∞，ln2〕
﹣ 单调递减
ln2
0 2﹣2ln2+2a
〔ln2，+∞〕
+ 单调递增
故f〔x〕的单调递减区间是〔﹣∞，ln2〕，单调递增区间是〔ln2，+∞〕，
f〔x〕在x＝ln2处取得极小值，极小值为f〔ln2〕＝2﹣2ln2+2a．
〔2〕证明：设g〔x〕＝ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R， 于是g'〔x〕＝ex﹣2x+2a，x∈R．
由〔1〕知，对任意x∈R，都有g′〔x〕＞0， 所以g〔x〕在R内单调递增．
于是，当a＞ln2﹣1时，对任意x∈〔0，+∞〕， 都有g〔x〕＞g〔0〕，而g〔0〕＝0， 从而对任意x∈〔0，+∞〕，都有g〔x〕＞0， 即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故ex＞x2﹣2ax+1．
21．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位X〔单位：米〕的频率分布表如下：
- 12 -
最高水位X〔单位：米〕 频率
[23，25〕 [25，27〕 [27，29〕 [29，31〕 [31，33]
0.15 0.44 0.36 0.04 0.01
将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互． 〔1〕求在未来3年里，至多有1年河流最高水位X∈[25，29〕的概率；
〔2〕该河流对沿河一蔬菜科植户影响如下：当X∈[23，25〕时，因河流水位较低，影响蔬菜正常灌溉，导致蔬菜干旱，造成损失；当X∈[29，33]时，因河流水位过高，导致蔬菜内涝，造成损失．现有三种应对方案： 方案一：不采取措施，蔬菜销售收入情况如表： 最高水位X〔单位：米〕 蔬菜销售收入〔单位：
元〕
方案二：只建设引水灌溉设施，每年需要建设费5000元，蔬菜销售收入情况如表； 最高水位X〔单位：米〕 蔬菜销售收入〔单位：
元〕
方案三：建设灌溉和排涝配套设施，每年需要建设费7000元，蔬菜销售收入情况如表： 最高水位X〔单位：米〕 蔬菜销售收入〔单位：
元〕
每年的蔬菜种植本钱为60000元，请你根据三种方案下该蔬菜种植户所获利润的均值为依据，比拟哪种方案较好，并说明理由．
〔注：蔬菜种植户所获利润＝蔬菜销售收入﹣蔬菜种植本钱﹣建设费〕 解：〔1〕由频率分布表得：
[23，25〕 70000
[25，29〕 120000
[29，33] 70000
[23，25〕 70000
[25，29〕 120000
[29，33]
0
[23，25〕 40000
[25，29〕 120000
[29，33]
0
P〔25≤X＜29〕＝P〔25≤X＜27〕+P〔27≤X＜29〕＝0.44+0.36＝0.8，
设在未来3年里，河流最高水位X∈[25，29〕发生的年数为Y， 那么Y～B〔3，0.8〕，
记事件“在未来3年里，至多有1年河流最高水位X∈[25，29〕〞为事件A，
- 13 -
那么P〔A〕＝P〔Y＝0〕+P〔Y＝1〕＝
∴在未来三年，至多有1年河流最高水位X∈[25，29〕的概率为0.104． 〔2〕由题设得P〔29≤X≤33〕＝0.05，
用X1，X2，X3分别表示方案一、方案二、方案三的蔬菜销售收入，由题意得：
＝0.104，
X1的分布列如下：
X1 40000 120000 P
0.15
0.8
E〔X1〕＝40000×0.15+120000×0.8+0×0.05＝102000． X2的分布列为：
X2 70000 120000 P
0.15
0.8
E〔X2〕＝70000×0.15+120000×0.8+0×0.05＝106500． X3的分布列为：
X3 70000 120000 P
0.15
0.8
E〔X3〕＝70000×0.15+120000×0.8+70000×0.05＝110000．
设三种方案下蔬菜种植户所获得利润分别为Y1，Y2，Y3， 那么Y1＝X1﹣60000，E〔Y1〕＝E〔X1〕﹣60000＝42000．
Y2＝X2﹣65000，E〔Y2〕＝E〔X2〕﹣65000＝41500． Y3＝X3﹣67000，E〔Y3〕＝E〔X3〕﹣67000＝43000，
∵E〔Y2〕＜E〔Y1〕＜E〔Y3〕，
∴采取方案三利润的均值最大，故方案三较好． 22．函数f〔x〕＝+alnx，a∈R． 〔1〕求函数f〔x〕的单调递减区间；
〔2〕当x∈[，1]时，f〔x〕的最小值是0，求实数a的值． 解：〔1〕f′〔x〕＝
，…
a≤0时，f′〔x〕＜0在〔0，+∞〕上恒成立，
0 0 - 14 -
0.05
0.05
70000 0.05
那么f〔x〕的单调递减区间为〔0，+∞〕，…
a＞0时，令f′〔x〕＜0得：0＜x＜，
那么f〔x〕的单调递减区间为〔0，〕． … 〔2〕①a≤1时，f〔x〕在[，1]上单调递减，
f〔x〕min＝f〔1〕＝1≠0，无解，…
②a≥2时，f〔x〕在[，1]上单调递增，
f〔x〕min＝f〔〕＝2+aln＝0，
解得：a＝
≥2，适合题意； …
③1＜a＜2时，f〔x〕在[，]上单调递减，[，1]上单调递增，∴f〔x〕min＝f〔〕＝a+aln＝0，解得：a＝e，舍去； 综上：a＝
．…
- 15 -
