2017-2018学年四川省成都七中高一(上)10月月考数学试卷

2017-2018学年四川省成都七中高一（上）10月月考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）方程x2﹣px+6=0的解集为M，方程x2+6x﹣q=0的解集为N，且M∩N={2}，那么p+q=（ ） A．21 B．8

C．6

D．7

定义域是（ ）

B．[﹣2，﹣1]∪[2，3]

C．[﹣2，﹣1）∪[2，3）

2．（5分）函数y=A．[﹣2，﹣1）

D．[﹣2，﹣1]

3．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}

＜0}，则A∩B是（ ）

4．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（ ） A．a≤3

B．a≥﹣3 C．a≤5

D．a≥5

5．（5分）若函数f（x）满足f（x）﹣2f（2﹣x）=﹣x2+8x﹣8，则f（1）的值为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

6．（5分）下列各组函数中，是同一函数的是（ ） ①y=2x+1与y=

；②f（x）=与g（x）=x0；③y=

与y=

．

与y=x﹣1；

④y=3x2+2x+1与u=3v2+1+2v，⑤y=

A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①④⑤

7．（5分）设奇函数（fx）在（0，+∞）上为增函数，且（f1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）

第1页（共20页）

A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） （1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

8．（5分）函数f（x）=|2x﹣3|+|x﹣1|的值域为（ ）

C．（﹣∞，﹣1）∪

A．[，+∞） B．（，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）

9．（5分）已知a≠b（a、b∈R）是关于x的方程x2﹣（k﹣1）x+k2=0两个根，则以下结论正确的是（ ） A．k的取值范围为（﹣1，3）

B．若a，b∈（﹣∞，0），则k的取值范围为（﹣∞，1） C．ab+2（a+b）的取值范围是

D．若a＜﹣1＜b，则k的取值范围为（﹣1，0）

10．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的不等式|2x+1|﹣[x]﹣2≤0解集为（ ）

A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜0或0＜x≤}∪{1} C．{x|﹣1≤x≤}∪{1}

D．{x|﹣≤x≤1}

11．（5分）定义min{x，y}表示两个数x，y中的较小者，max{x，y}表示两个数x，y中的较大者，设集合M={1，2，3，4，5，6，7，8}，S1，S2，…Sk都是M的含有两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai，bi}、Sj={aj，bj}（i≠j，i，j∈{1，2，3，…k}都有min{A．2

B．3

C．4

D．5

的定义域为D，对于D内的任意x都有f（﹣，

}•max{

•

}=1，则k的最大值是（ ）

12．（5分）函数f（x）=

1）≤f（x）≤f（1）成立，则b•c+f（3）的值为（ ） A．6 C．5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13．（5分）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有 个． 14．（5分）写出一个定义域为{x|0＜x＜3}，值域为{y|0≤y＜4}的函数解析

第2页（共20页）

B．0

D．以上答案均不正确

式 ．

15．（5分）已知函数f（x）=，与函数g（x）=a图象恰有一个

交点，则a的范围为 ．

16．（5分）集合A={x|b＜x＜3b﹣1}中的元素恰有2个整数，则b的范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．（10分）已知函数f（x）=．

（1）写出函数f（x）的单调减区间．（不用写过程） （2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

18．（12分）设全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，若A∩∁UB={2}，求a、b的值．

19．（12分）某工厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为5万，已知生产100件这样的产品需要再增加可变成本（另增加投入）2.5万元，根据市场调研分析，销售的收入为g（x）=50x﹣5x2（万元），（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百件）．假设此种产品的需要求量最多为500件，设该工厂年利润为y万元．

（1）将年利润表示为年产量的函数； （2）求年利润的最大值． 20．（12分）已知函数f（x）=根x1=3，x2=4．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设k＞1，解关于x的不等式：f（x）＜

．

（a，b为常数），方程f（x）=x﹣12有两个

21．（12分）函数f（x）对任意的a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1．

第3页（共20页）

（1）判断函数f（x）是否为奇函数； （2）证明：f（x）在R上增函数；

（3）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3． 22．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．

（1）若a2+c2=0，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；、 （2）若0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）＜3，求a+b+c的范围；

（3）若g（x）=f（x）﹣x3，且g（﹣1）=0，是否存在a，b，c，使得x≤g（x）≤

对于x∈R恒成立，若有，求f（x）的解析式？若无，说明理由．

第4页（共20页）

2017-2018学年四川省成都七中高一（上）10月月考数

学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）方程x2﹣px+6=0的解集为M，方程x2+6x﹣q=0的解集为N，且M∩N={2}，那么p+q=（ ） A．21 B．8

C．6

D．7

【分析】由M与N的交集中的元素为2，得到已知两方程的解为2，确定出p与q的值，即可求出p+q的值．

【解答】解：∵方程x2﹣px+6=0的解集为M，方程x2+6x﹣q=0的解集为N，且M∩N={2}， ∴2为两方程的解，

把x=2代入方程x2﹣px+6=0得：4﹣2p+6=0，即p=5， 把x=2代入方程x2+6x﹣q=0得：4+12﹣q=0，即q=16， 则p+q=5+16=21． 故选：A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）函数y=A．[﹣2，﹣1）

D．[﹣2，﹣1]

定义域是（ ）

B．[﹣2，﹣1]∪[2，3]

C．[﹣2，﹣1）∪[2，3）

【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【解答】解：由题意得：

，

第5页（共20页）

解得：﹣2≤x＜﹣1，

故函数的定义域是[﹣2，﹣1）， 故选：A．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

3．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}

【分析】集合A中的绝对值不等式可利用讨论2x﹣1的正负得到一个不等式组，求出不等式组的解集即可得到集合A；集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x﹣3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组，分别求出解集即可得到集合B，求出两集合的交集即可． 【解答】解：∵|2x﹣1|＜3， ∴﹣3＜2x﹣1＜3，即∴﹣1＜x＜2， 又∵

＜0，

或

，

，

＜0}，则A∩B是（ ）

∴（2x+1）（x﹣3）＞0，即∴x＞3或x＜﹣，

∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}． 故选：D．

【点评】此题是以绝对值不等式和其他不等式的解法为平台，考查了求交集的运算，是一道中档题．

4．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（ ）

第6页（共20页）

A．a≤3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5

【分析】由抛物线函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1﹣a，在区间[4，+∞）上递增，知1﹣a≤4，由此能求出实数a的取值范围． 【解答】解：∵抛物线函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上， 对称轴方程是x=1﹣a，在区间[4，+∞）上递增， ∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3． 故选：B．

【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

5．（5分）若函数f（x）满足f（x）﹣2f（2﹣x）=﹣x2+8x﹣8，则f（1）的值为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

【分析】在f（x）﹣2f（2﹣x）=﹣x2+8x﹣8中，令x=1，能求出f（1）的值． 【解答】解：∵函数f（x）满足f（x）﹣2f（2﹣x）=﹣x2+8x﹣8， ∴f（1）﹣2f（1）=﹣1+8﹣8， ∴f（1）=1． 故选：B．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

6．（5分）下列各组函数中，是同一函数的是（ ） ①y=2x+1与y=

；②f（x）=与g（x）=x0；③y=

与y=

．

与y=x﹣1；

④y=3x2+2x+1与u=3v2+1+2v，⑤y=

A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①④⑤

【分析】只有定义域和对应法则完全相同的函数，才为同一函数，对选项一一判断，即可得到符合题意的函数． 【解答】解：①y=2x+1与y=

=|2x+1|，定义域均为R，对应法则不一

第7页（共20页）

样，

故不为同一函数；

②f（x）==1（x≠0）与g（x）=x0=1（x≠0），故为同一函数； ③y=

=x﹣1（x≠0）与y=x﹣1（x∈R），故不为同一函数；

④y=3x2+2x+1与u=3v2+1+2v，定义域和对应法则完全一样，故为同一函数； ⑤y=

（x≠﹣1）与y=

=

（x≠1且x≠﹣1），定义域不同，故不为同一

函数． 故选：C．

【点评】本题考查同一函数的判断，注意只有定义域和对应法则完全相同的函数，才为同一函数，考查运算能力，属于基础题．

7．（5分）设奇函数（fx）在（0，+∞）上为增函数，且（f1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）

A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） （1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

【分析】根据函数为奇函数求出f（1）=0，再将不等式x f（x）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集． 【解答】解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0， ∴f（1）=﹣f（﹣1）=0，在（﹣∞，0）内也是增函数 ∴即

=或

＜0，

C．（﹣∞，﹣1）∪

根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x∈（﹣1，0）∪（0，1） 故选：D．

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．

第8页（共20页）

8．（5分）函数f（x）=|2x﹣3|+|x﹣1|的值域为（ ） A．[，+∞） B．（，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）

【分析】去绝对值写出分段函数解析式，画出图形，数形结合得答案．

【解答】解：f（x）=|2x﹣3|+|x﹣1|=，

函数图象如图：

由图可知，函数f（x）=|2x﹣3|+|x﹣1|的值域为[，+∞）． 故选：A．

【点评】本题考查函数值域的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

9．（5分）已知a≠b（a、b∈R）是关于x的方程x2﹣（k﹣1）x+k2=0两个根，则以下结论正确的是（ ） A．k的取值范围为（﹣1，3）

B．若a，b∈（﹣∞，0），则k的取值范围为（﹣∞，1） C．ab+2（a+b）的取值范围是

D．若a＜﹣1＜b，则k的取值范围为（﹣1，0）

【分析】若方程有两个根，则△＞0，解不等式可得k的取值范围；若a，b∈（﹣∞，0），则方程有两个负根，△＞0且k﹣1＜0；根据韦达定理可将ab+2（a+b）化为一个关于k的表达式，根据二次函数的图象和性质，可得其取值范围，若a＜﹣1＜b，则当x=﹣1时，x2﹣（k﹣1）x+k2＜0，由此可得k的取值范围．

第9页（共20页）

【解答】解：∵a≠b（a、b∈R）是关于x的方程x2﹣（k﹣1）x+k2=0两个根，∴（k﹣1）2﹣4k2=﹣3k2﹣2k+1＞0，即3k2+2k﹣1＜0，解得﹣1＜k＜，故A错误；

若a，b∈（﹣∞，0），则k﹣1＜0且﹣1＜k＜，故k的取值范围为（﹣1，1），故B错误；

ab+2（a+b）=k2+2（k﹣1）=k2+2k﹣2=（k+1）2﹣3，（﹣1＜k＜），即ab+2（a+b）∈（﹣3，﹣

），故C错误

若a＜﹣1＜b，当x=﹣1时，x2﹣（k﹣1）x+k2＜0，即k+k2＜0，解得k∈（﹣1，0），故D正确 故选：D．

【点评】本题考查的知识点是根与系数的关系，其中熟练掌握一元二次方程根的个数与△的关系是解答本题的关键．

10．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的不等式|2x+1|﹣[x]﹣2≤0解集为（ ）

A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜0或0＜x≤}∪{1} C．{x|﹣1≤x≤}∪{1}

D．{x|﹣≤x≤1}

【分析】由题意可得x≥[x]，讨论2x+1≥0，2x+1＜0，去绝对值，结合[x]表示不超过x的最大整数，即可得到所求解集． 【解答】解：由题意可得x≥[x]，

若2x+1≥0，即x≥﹣，可得2x+1﹣[x]﹣2≤0， 即有2x﹣1≤[x]≤x， 即为﹣≤x≤1，

当x=1时，原不等式即为1﹣1≤0显然成立；

当0＜x＜1时，[x]=0，可得2x+1﹣2≤0，解得0＜x≤； 当x=0时，不等式即为﹣1≤0成立；

第10页（共20页）

当﹣≤x＜0时，2x﹣1+1≤0，解得﹣≤x＜0； 当2x+1＜0，即x＜﹣，可得﹣2x﹣1﹣[x]﹣2≤0， 即有﹣2x﹣3≤[x]≤x，可得﹣1≤x＜﹣， 当x=﹣1时，不等式即为﹣1+1﹣2≤0成立；

当﹣1＜x＜﹣时，不等式即为﹣2x﹣3﹣（﹣1）≤0，解得﹣1＜x＜﹣． 综上可得，不等式的解集为[﹣1，﹣）∪[﹣，]∪{1}=[﹣1，]∪{1}． 故选：C．

【点评】本题考查含绝对值不等式和[x]的不等式的解法，注意运用绝对值的意义和[x]的定义，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于难题．

11．（5分）定义min{x，y}表示两个数x，y中的较小者，max{x，y}表示两个数x，y中的较大者，设集合M={1，2，3，4，5，6，7，8}，S1，S2，…Sk都是M的含有两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai，bi}、Sj={aj，bj}（i≠j，i，j∈{1，2，3，…k}都有min{A．2

B．3

C．4 ，

D．5 }与max{

•

}互为倒数，满足条件K取最大值的有{1，

，

}•max{

•

}=1，则k的最大值是（ ）

【分析】min{

2}，{2，4}，{3，6}，{4，8}，由此能求出k的最大值．

【解答】解：集合M={1，2，3，4，5，6，7，8}，S1，S2，…Sk都是M的含有两个元素的子集，

且满足：对任意的Si={ai，bi}、Sj={aj，bj}（i≠j，i，j∈{1，2，3，…k}都有min{

，

}•max{•}=1，

∴根据题意，M的所有含有2个元素的子集有C82=28个， ∵min{

，

}•max{

•

}=1，

第11页（共20页）

∴min{，}与max{•}互为倒数，

∴满足条件K取最大值的有{1，2}，{2，4}，{3，6}，{4，8}， 则k的最大值是4． 故选：C．

【点评】本题考查实数值的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

12．（5分）函数f（x）=

的定义域为D，对于D内的任意x都有f（﹣

1）≤f（x）≤f（1）成立，则b•c+f（3）的值为（ ） A．6 C．5

B．0

D．以上答案均不正确

【分析】由题意可得x2﹣bx﹣c≤0，由对于D内的任意x都有f（﹣1）≤f（x）≤f（1）成立，可得f（1）为最大值，且1为二次函数y=x2﹣bx﹣c的对称轴，f（﹣1）为最小值0，可得c，b的方程组，求得b，c，即可得到所求和． 【解答】解：函数f（x）=可得﹣x2+bx+c≥0， 即为x2﹣bx﹣c≤0，

由对于D内的任意x都有f（﹣1）≤f（x）≤f（1）成立， 可得f（1）为最大值，f（﹣1）为最小值0， 则b=1，﹣1﹣b+c=0， 解得b=2，c=3， f（x）=bc+f（3）=6+故选：A．

【点评】本题考查函数的定义域问题解法，注意运用偶次根式被开方式非负，以及函数的最值的定义，考查运算能力，属于中档题．

第12页（共20页）

有意义，

， =6，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13．（5分）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有 4 个． 【分析】根据集合B满足A∪B={1，2}，可得B⊆A，进而根据n元集合有2n个子集，得到答案．

【解答】解：∵集合A={1，2}有两个元素， 若A∪B={1，2}， 则B⊆A

故满足条件的集合B有22=4个 故答案为：4

【点评】本题考查的知识点是并集及其运算，子集的个数，由已知得到B⊆A，及n元集合有2n个子集，是解答的关键．

14．（5分）写出一个定义域为{x|0＜x＜3}，值域为{y|0≤y＜4}的函数解析式 y=（x﹣2）2，x∈（0，3）． ．

【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的性质求出函数的解析式即可． 【解答】解：令f（x）=（x﹣2）2，x∈（0，3）， 则f（x）的对称轴是x=2， f（x）min=f（2）=0， f（x）＜f（0）=4，

故y=f（x）的值域是[0，4），

故答案为：y=（x﹣2）2，x∈（0，3）．

【点评】本题考查了函数的定义域，值域问题，是一道基础题．

15．（5分）已知函数f（x）=，与函数g（x）=a图象恰有一个

交点，则a的范围为 [﹣1，1]∪{2}∪（3，6）， ． 【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围． 【解答】解：分别画出f（x），g（x）的图象，如图所示，

第13页（共20页）

结合函数的图象可得，f（x）与函数g（x）=a图象恰有一个交点 的a的范围为[﹣1，1]∪{2}∪（3，6）， 故答案为：[﹣1，1]∪{2}∪（3，6）

【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．

16．（5分）集合A={x|b＜x＜3b﹣1}中的元素恰有2个整数，则b的范围为 （，]∪{2} ．

【分析】由集合A={x|b＜x＜3b﹣1}中的元素恰有2个整数，得集合长度T=3b﹣1﹣b=2b﹣1，长度T=2b﹣1，要满足涵盖两个整数，则其必须满足在（1，3]之间，得1＜b≤2，当b∈（1，2）时，此能求出b的范围．

【解答】解：∵集合A={x|b＜x＜3b﹣1}中的元素恰有2个整数， ∴b＜3b﹣1，解得b＞， 集合长度T=3b﹣1﹣b=2b﹣1，

长度T=2b﹣1，要满足涵盖两个整数，则其必须满足在（1，3]之间， 即1＜2b﹣1≤3，解得1＜t≤2， 当t∈（1，2）时，

，∴

，

，当b=2时，3b﹣1=5，由

当b=2时，3b﹣1=5，恰好符合题意．

第14页（共20页）

故答案为：（]∪{2}．

【点评】本题考查的实数的取值范围的求法，考查集合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．（10分）已知函数f（x）=．

（1）写出函数f（x）的单调减区间．（不用写过程） （2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数． 【分析】（1）求出单调区间即可； （2）根据函数的单调性的定义证明即可．

【解答】解：（1）f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递减； （2）证明：设0＜x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2） ==

﹣

，

∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0， 故f（x）在（0，+∞）递减．

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查通过定义证明函数的单调性，是一道基础题．

18．（12分）设全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，若A∩∁UB={2}，求a、b的值．

【分析】根据集合A={x|x2+ax﹣12=0}，集合B={x|x2+bx=0}，若A∩∁UB={2}，则2∈A，方程x2+ax﹣12=0的另一根∈B，代入可得实数a，b的值． 【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，

第15页（共20页）

若A∩∁UB={2}，则2∈A， 可得4+2a﹣12=0，解得a=4， 即有A={x|x2+4x﹣12=0}={2，﹣6}， 则﹣6∈B，

可得36﹣6b+b2﹣28=0， 解得b=2或b=4，

则B={﹣6，4}或B={﹣6，2}． 显然b=4舍去． 故a=4，b=2．

【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，正确理解A∩∁UB={2}的含义是解答的关键．

19．（12分）某工厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为5万，已知生产100件这样的产品需要再增加可变成本（另增加投入）2.5万元，根据市场调研分析，销售的收入为g（x）=50x﹣5x2（万元），（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百件）．假设此种产品的需要求量最多为500件，设该工厂年利润为y万元．

（1）将年利润表示为年产量的函数； （2）求年利润的最大值．

【分析】（1）本题考查的是分段函数的有关知识，利用年利润=年销售收入﹣投资成本（包括固定成本），可得年利润表示为年产量的函数； （2）用配方法化简解析式，求出最大值．

【解答】解：（1）设年产量为x百件，当0≤x≤5时，产品全部售出 ∴y=（50x﹣5x2）﹣（5+2.5x）=﹣5x2+47.5x﹣5 当x＞5时，产品只能售出500件

∴y=（50×5﹣5×52）﹣（5+2.5x）=﹣2.5x+120 ∴y=

；

（2）当0≤x≤5时，y=﹣5x2+47.5x﹣5，∴x=4.75时，ymax=107.8125

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当x＞5时，y＜107.5

故当年产量为475件时取得最大利润，且最大利润为107.8125元，最佳生产计划475件．

【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，属于基础题．

20．（12分）已知函数f（x）=根x1=3，x2=4．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设k＞1，解关于x的不等式：f（x）＜

．

（a，b为常数），方程f（x）=x﹣12有两个

【分析】（1）将x1=3，x2=4分别代入方程f（x）=x﹣12，得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．

（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可． 【解答】解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程f（x）=x﹣12， 得

，解得

，

所以f（x）= （x≠2）．

＜＜0，

，

（2）不等式即为可化为

即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．

①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．

②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）； ③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．

【点评】本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则： 1．要有明确的分类标准；

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2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；

3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．

21．（12分）函数f（x）对任意的a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1．

（1）判断函数f（x）是否为奇函数； （2）证明：f（x）在R上增函数；

（3）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．

【分析】（1）令a=b=0，可得f（0）=1，令a=x，b=﹣x，可得f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判断．

（2）先任取x1＜x2，x2﹣x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2﹣x1）＞1，再对f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1变形得到结论．

（3）由f（2）=3，再将f（m﹣2）＜3转化为f（m﹣2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解

【解答】解：（1）令a=b=0，可得f（0）=1， 令a=x，b=﹣x，可得f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1， 可得f（﹣x）=﹣f（x）， ∴函数f（x）为奇函数 （2）证明：任取x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0．∴f（x2﹣x1）＞1．

∴f（x2）=f[x1+（x2﹣x1）]=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f（x1）， ∴f（x）是R上的增函数． （2）∵f（4）=5，

令a=b=2，可得5=f（4）=2f（2）﹣1 那么：f（2）=3

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解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3． ∴f（3m2﹣m﹣2）＜3=f（2）．

又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数， ∴3m2﹣m﹣2＜2， 解得：﹣1＜m

故得不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为：（﹣1，）．

【点评】本题主要考查抽象函数的单调性证明和利用单调性定抽象不等式，利用定义法以及转化法是解决本题的关键．

22．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．

（1）若a2+c2=0，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；、 （2）若0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）＜3，求a+b+c的范围；

（3）若g（x）=f（x）﹣x3，且g（﹣1）=0，是否存在a，b，c，使得x≤g（x）≤

对于x∈R恒成立，若有，求f（x）的解析式？若无，说明理由．

【分析】（1）由题意可得a=c=0，由奇偶性的定义，即可判断f（x）为奇函数； （2）解方程组可得a，b，进而得到c的范围，即有a+b+c的范围； （3）求得g（x）的解析式，假设存在a，b，c，使得x≤g（x）≤

对于x

∈R恒成立．求得g（1）=1，结合g（﹣1）=0，解得b，再由恒成立思想运用判别式法，即可得到所求a，c的值，进而判断存在性． 【解答】解：（1）若a2+c2=0，则a=c=0， 可得f（x）=x3+ax2+bx+c=x3+bx为奇函数， 由定义域为R，且f（﹣x）=﹣x3﹣bx=﹣f（x）， 可得f（x）为奇函数；

（2）0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）＜3，

可得0＜﹣1+a﹣b+c=﹣8+4a﹣2b+c=﹣27+9a﹣3b+c＜3， 即为解得

，

，则f（x）=x3+6x2+11x+c，

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由0＜f（﹣1）＜3，得0＜﹣1+6﹣11+c＜3， 即6＜c＜9， 则23＜a+b+c＜26；

（3）g（x）=f（x）﹣x3=ax2+bx+c，且g（﹣1）=0， 可得a﹣b+c=0，①

假设存在a，b，c，使得x≤g（x）≤

对于x∈R恒成立．

可令x=1，可得1≤g（1）≤1，即为g（1）=1， 可得a+b+c=1，②

由①②解得b=，a+c=， 又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立， 可得a＞0，△=﹣4ac≤0，即为ac≥又2ax2+2bx+2c﹣（x2+1）≤0恒成立，

则2a﹣1＜0，△=1﹣4（2a﹣1）（2c﹣1）≤0， 可得a＜，ac≥即为ac≥

，

，

，代入c=﹣a，

，

可得a（﹣a）≥

即有16a2﹣8a+1≤0，

即有（4a﹣1）2≤0，但（4a﹣1）2≥0， 则4a﹣1=0，即a=，c=， 故存在a，b，c，使得x≤g（x）≤且a=c=，b=．

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，以及不等式的性质，考查存在性问题解法，注意运用二次不等式恒成立思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

对于x∈R恒成立，

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