单摆周期公式的推导
一．简谐运动物体的运动学特征
作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F与物体相对于平衡位置的位移x成正比，方向与位移x相反，用公式表示可以写成F=−kx，其中k是比例系数。对于质量为m的小球，假设t时刻（位移是x）的加速度为a，根据牛顿第二运动定律有：
k
F=ma=−kx，即a=−x
m
因此小球的加速度a与它相对平衡位置的位移x成正比，方向与位移x相反。因为x（或d2xk
F）是变量，所以a也是变量，小球作变加速运动。把加速度a写成2，并把常数
mdtd2x
写成得到2=−2x。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为
dt
2
x=Asin(t+)。这说明小球的位移x是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，
其变化的角速度为=
k2=，从而得到作简谐运mT
m
动物体的周期为T=2。
k
AlG1二．单摆周期公式的推导P单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小OG2球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，
GG都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O点时，摆球受到的重力G和摆线图 1的拉力T平衡，如图1所示，这个O点就是单摆的平
衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G和摆线的拉力T就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P
TTB
时，重力G沿着圆弧切线方向的分力G1=mgsin提供给摆球作为来回振动的回复力
F=G1=mgsin，当偏角很小﹝如＜100﹞时，sin≈≈
复力F=−
x
，所以单摆受到的回l
mg
式中的l为摆长，x是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与x，l
mg
位移x的方向相反，由于m、g、L都是确定的常数，所以可以用常数k来表示，于
l
是上式可写成F=−kx。因此，在偏角很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方
mg
向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把k=代入到简谐运动物体的周期公式，
l
即可得到单摆的周期公式是T=2l。g
三．单摆周期公式在特定条件下的应用
讨论1：单摆周期公式中的l指的是单摆的摆长，但在特定情况下可以理解为是等效摆长。
例1．如图2所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根等长的细线悬挂一个小球而构成的。已知摆长为L，摆线与天花板之间的夹角为。求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。
解析小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为Lsin，所以此双线摆的周期T=2L图 2
Lsin。g
讨论2：单摆周期公式中的g指的是重力加速度，而在很多特定条件下可以理解为g′——摆球在平衡位置保持相对静止时，摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向．．．．
F
的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力F与摆球质量m的比值，即g′=，（在加速运
m
动系统中，还应包括惯性力，惯性力的大小F′=ma，方向与系统的加速度的方向相反）此时，单摆的周期公式就变成了T=2例2．在电场中带电摆球的摆动周期
如图3所示，长为L的绝缘细线下端系一带电量为+q、质量为m的小球，整个装置处于场强为E方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于50时，求它的摆动周期。
解析摆球所受到的力如图3所示即细线的拉力F、重力mg和电场力Eq。当摆球在平衡位置保持相对．．静止时，摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着．．
摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力
mg+EqEq
，=g+F=mg+Eq，则g′=
mmL
摆动的周期是T=2。
Eqg+
m
Fl。g'
FE
qEGEqG图 3
图 4
若整个装置处于如图4所示的电场中，同样可以求得单摆的摆动周期为T=2Lg2+(
Eq2
)m
。
例3．如图5所示，求在匀加速上升的升降机内单摆的周期。
aTGF′图 5
解析设升降机匀加速上升的加速度为a，单摆的摆长为L，摆球的质量为m。当摆球在平衡位置保持相对静止时，摆球受到的力如图5所示即摆线的拉力T和重力G．．．．以及惯性力F′=ma，方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力F=mg+ma，因此g′=
LLF
。=g+a，所以单摆的周期T=2=2mg′g+a
F′a
TG如图6所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内，单摆的摆
长为L，系统水平向右的加速度为a，摆球的质量为m，求这一单摆的周期。
解析摆球受到摆线的拉力T和重力G以及惯性力F′=ma，惯性力的方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力F=ma2+g2，因此，
g′=a2+g2，单摆的周期T=2图 6
La2+g2
。
TF′G图 7
+q, m例4．如图7所示为一单摆，摆绳长为L，摆球的质量为m，摆球带有正电荷的电量为q，在单摆的悬点处放有一带电量为Q的正电荷，试求
这一单摆的周期。
解析摆球受到摆绳的拉力T、重力G和电场力F′。其中电场力F′始终沿着摆绳的方向，当摆球在平衡位置保持相对静止时，摆球受到的外力中除去所有的始终沿着摆．．．．绳方向的力，剩余的各力沿着摆绳方向的合力F=mg，g′=因此，单摆的周期是T=2l
。g
图 8
F
=g。m
例5．如图8所示，单摆处在方向垂直纸面向里的磁场中，已知摆球的带电量为+q，磁感应强度为B，求该单摆的周期。
解析摆球在平衡位置周围往复运动时，除了重力和拉力外，还将受到洛伦兹力的作用，而洛伦兹力的方向总是沿着摆线的方向，摆球所受到的外力中除去所有的始终
F
沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力F=mg，g′==g。因此，单摆
m的周期是T=2l。g
