2021年广东省清远市中考数学一模测试卷

2021年广东省清远市中考数学一模测试卷

一．选择题（共10小题，满分24分） 1．3的相反数是( ) A．3

B．3

1C．

31D．

32．数据3、4、6、7、x的平均数是5，则这组数据的中位数是( ) A．4

B．4.5

C．5

D．6

3．（3分）在平面直角坐标系中，点A(3,2)关于y轴的对称点在( ) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4．（3分）一个多边形每个外角都等于36，则这个多边形是几边形( ) A．7

B．8

C．9

D．10

5．（3分）要使a2有意义，则a的值是( ) A．a0

B．a0

C．a0

D．a0

6．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度( )

A．保持不变 C．先变大，再变小

B．逐渐变小 D．逐渐变大

7．（3分）抛物线y(x1)23关于x轴对称的抛物线的解析式是( ) A．y(x1)23 B．y(x1)23

C．y(x1)23

D．y(x1)23

2x74x18．（3分）若关于x的不等式组的解集为x3，则k的取值范围为( )

xk2A．k1 B．k1 C．k1 D．k1

9．（3分）如图：将边长为6的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是( )

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A．2

B．

9 4C．3

9D．

510．（3分）二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，下列结论： ①b24ac0；②abc0；③4ab0；④4a2bc0． 其中正确结论的个数是( )

A．4

B．3

C．2

D．1

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．（4分）化简：a1a(a1)a(a1)2a(a1)99 ． 112．（4分）单项式3xn1y3与x2ym1是同类项，则mn ．

213．（4分）若3a|b2|0，则(ab)2020的值为 ． 14．（4分）已知ab2，ab1，求a2abb的值为 ．

115．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，A45，分别以点A和点B为圆心，大于AB2的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为 ．

16．（4分）如图，AC，BC是AB，O的三条弦，ODAB，OEBC，OFAC，

第2页（共25页）

且ODOEOF，则弧AC弧 弧 ，ABC ，ABC是 三角形．

17．（4分）如图，在RtABC中，ACB90，BC4，AC10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 ．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

18．（6分）先化简，再求值：(2xy)24(xy)(xy)5xy，其中x6，y2． 19．（6分）校医院调查在校七年级学生的体重，对七年级30名男生进行了调查，平均体重为48kg，你觉得这个可以作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？ 20．（6分）如图，已知ABAC，ADAE，BD和CE相交于点O． （1）求证：ABDACE；

（2）判断BOC的形状，并说明理由．

四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 21．（8分）阅读理解，并回答问题：

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若x1，x2是方程ax2bxc0的两个实数根，则有ax2bxca(xx1)(xx2)．即

ax2bxcax2a(x1x2)xax1x2，于是ba(x1x2)，cax1x2．由此可得一元二次方bc程的根与系数关系：x1x2，x1x2．这就是我们众所周知的韦达定理．

aa（1）已知m，n是方程x2x1000的两个实数根，不解方程求m2n2的值； （2）若x1，x2，x3，是关于x的方程x(x2)2t的三个实数根，且x1x2x3； ①x1x2x2x3x3x1的值；②求x3x1的最大值．

22．（8分）如图，在O中，点C为AB的中点，ACB120，OC的延长线与AD交于点D，且DB． （1）求证：AD与O相切； （2）若CE4，求弦AB的长．

23．（8分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，用7200元购买A种健身器材比用5400B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，元购买B种健身器材多10件．

（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？

（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？ 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）

24．（10分）在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2)，OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴k上，得到ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y(x0)的图象经过点F，交ABx于点G．

（1）求k的值和点G的坐标；

（2）连接FG，则图中是否存在与BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，

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并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；

（3）在线段OA上存在这样的点P，使得PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．

1325．（10分）如图，抛物线yx2x2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点

22D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴

的垂线l交抛物线于点Q． （1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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2021年广东省清远市中考数学一模测试卷

参与试题解析

一．选择题（共10小题，满分24分） 1．3的相反数是( ) A．3

B．3

1C．

31D．

3【分析】依据相反数的定义回答即可． 【解答】解：3的相反数是3． 故选：A．

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2．数据3、4、6、7、x的平均数是5，则这组数据的中位数是( ) A．4

B．4.5

C．5

D．6

【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案． 【解答】解：数据3、4、6、7、x的平均数是5， (3467x)55，

解得：x5，

把这些数从小到大排列为：3、4、5、6、7，最中间的数是5，

这组数据的中位数是5；

故选：C．

【点评】此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据个数的奇偶性来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．

3．（3分）在平面直角坐标系中，点A(3,2)关于y轴的对称点在( ) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答．

【解答】解：点A(3,2)关于y轴的对称点是(3,2)， A(3,2)关于y轴的对称点在第四象限．

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故选：D．

【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．

4．（3分）一个多边形每个外角都等于36，则这个多边形是几边形( ) A．7

B．8

C．9

D．10

【分析】多边形的外角和是360，又有多边形的每个外角都等于36，所以可以求出多边形外角的个数，进而得到多边形的边数． 【解答】解：这个多边形的边数是：

36010．故答案是D． 36【点评】本题考查多边形的外角和，以及多边形外角的个数与其边数之间的相等关系． 5．（3分）要使a2有意义，则a的值是( ) A．a0

B．a0

C．a0

D．a0

【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得，a20， 解得a0． 故选：D．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

6．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度( )

A．保持不变 C．先变大，再变小

B．逐渐变小 D．逐渐变大

【分析】连接AQ，根据三角形中位线定理解答即可．

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【解答】解：连接AQ， 点Q是边BC上的定点， AQ的大小不变，

E，F分别是AP，PQ的中点，

EF1AQ， 2线段EF的长度保持不变，

故选：A．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

7．（3分）抛物线y(x1)23关于x轴对称的抛物线的解析式是( ) A．y(x1)23 B．y(x1)23

C．y(x1)23

D．y(x1)23

【分析】抛物线y(x1)23的顶点坐标为(1,3)，关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,3)，且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛

物线的解析式即可． 【解答】解：

y(x1)23的顶点坐标为(1,3)，

关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,3)，且开口向下，

所求抛物线解析式为：y(x1)23．

故选：D．

【点评】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系．关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．

2x74x18．（3分）若关于x的不等式组的解集为x3，则k的取值范围为( )

xk2A．k1 B．k1 C．k1 D．k1

【分析】不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可．

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x3【解答】解：不等式整理得：，

xk2由不等式组的解集为x3， 得到k的范围是k1， 故选：C．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．（3分）如图：将边长为6的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是( )

A．2

B．

9 4C．3

9D．

5【分析】设EFFDx，在RtAEF中利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图：

四边形ABCD是正方形， ABBCCDAD6，

AEEB3，EFFD，设EFDFx．则AF6x，

在RtAEF中，

AE2AF2EF2，

32(6x)2x2， x15， 4159， 44AF6故选：B．

第9页（共25页）

【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题．

10．（3分）二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，下列结论： ①b24ac0；②abc0；③4ab0；④4a2bc0． 其中正确结论的个数是( )

A．4

B．3

C．2

D．1

【分析】先由抛物线与x轴交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a0，进而判断出b0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c0，判断出结论③，最后用x2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．

【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，

方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，

b24ac0，故①正确，

由图象知，抛物线的对称轴直线为x2， b2， 2a4ab0，

由图象知，抛物线开口方向向下， a0， 4ab0，

b0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

c0，

abc0，故②③正确，

由图象知，当x2时，y0， 4a2bc0，故④错误，

即正确的结论有3个， 故选：B．

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【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．（4分）化简：a1a(a1)a(a1)2a(a1)99 (a1)100 ． 【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．

【解答】解：原式(a1)[1aa(a1)a(a1)2a(a1)98]

(a1)2[1aa(a1)a(a1)2a(a1)97] (a1)3[1aa(a1)a(a1)2a(a1)96] 

(a1)100．

故答案为：(a1)100．

【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 112．（4分）单项式3xn1y3与x2ym1是同类项，则mn 1 ．

2【分析】根据同类项的概念列式求出m、n，计算即可． 【解答】解：由题意得，n12，m13， 解得，n1，m2， 则mn1， 故答案为：1．

【点评】本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．

13．（4分）若3a|b2|0，则(ab)2020的值为 1 ．

【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和． 【解答】解：

3a|b2|0，

a30，b20， a3，b2；

因此ab321．

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则(ab)2020(1)20201． 故答案为：1．

【点评】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

14．（4分）已知ab2，ab1，求a2abb的值为 0 ． 【分析】整体代入即可求出结果． 【解答】解：ab2，ab1， a2abbab2ab220，

故答案为：0．

【点评】考查代数式求值，整体代入是求值常用的方法．

115．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，A45，分别以点A和点B为圆心，大于AB2的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为 26 ．

【分析】如图，连接EB．证明AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EB，EC即可．

【解答】解：如图，连接EB．

由作图可知，MN垂直平分线段AB，

EAEB，

第12页（共25页）

AEBA45， AEB90，

AB4，

EAEB22，

四边形ABCD是菱形， AD//BC，

EBCAEB90，

ECEB2BC2(22)24226， 故答案为26．

【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

16．（4分）如图，AC，BC是AB，O的三条弦，ODAB，OEBC，OFAC，

且ODOEOF，则弧AC弧 AB 弧 ，ABC ，ABC是 三角形．

【分析】由垂径定理得BEEC，BDAD；若连接OB、OC、OA，则可证得OCEOBEOBD，再得ABC是等边三角形，然后运用圆周角定理可解．

【解答】解：连接OB，OC，OA

ODAB，OEBC，

由垂径定理知，BEEC，BDAD，

OBOC，

OCEOBEOBD， BEECBDAD，

第13页（共25页）

同理，ADAFCFCE，

ABBCAC，即ABC是等边三角形， ABC60，弧AC弧AB弧BC．

【点评】本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解．

17．（4分）如图，在RtABC中，ACB90，BC4，AC10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 2262 ．

【分析】连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的说明E点始终在

连接EF，AF，证明CEB90，F，

F上，再由在整个变化过程中，AEAFEF，当A、E、F三点共线

时，AE最最小值，求出此时的值便可．

【解答】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的F，连接EF，AF， BC4， CF2，

ACB90，AC10，

AFAC2CF2104226， CD是O的直径， CEDCEB90，

E点在F上，

在D的运动过程中，AEAFEF，且A、E、F三点共线时等号成立，

第14页（共25页）

当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AFEF2262．

故答案为：2262．

【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定AE取最小值的位置．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

18．（6分）先化简，再求值：(2xy)24(xy)(xy)5xy，其中x6，y2． 【分析】先按照完全平方公式、平方差公式及合并同类项的方法将原式化简，再将x6，y2代入求值即可．

【解答】解：原式4x24xyy24(x2y2)5xy

4x24xyy24x24y25xy 5y2xy．

当x6，y2时，

原式5(2)26(2) 2012

8．

【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题的关键．

19．（6分）校医院调查在校七年级学生的体重，对七年级30名男生进行了调查，平均体重为48kg，你觉得这个可以作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？ 【分析】根据样本估计总体思想求解可得．

第15页（共25页）

【解答】解：这个不能作为七年级学生平均体重的估计， 因为调查的样本，即30名男生的体重相对于女生的体重要高， 用30名男生的体重来估计全体七年级学生的体重不具有代表性， 所以这个不能作为七年级学生平均体重的估计．

【点评】本题考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

20．（6分）如图，已知ABAC，ADAE，BD和CE相交于点O． （1）求证：ABDACE；

（2）判断BOC的形状，并说明理由．

【分析】（1）由“SAS”可证ABDACE；

（2）由全等三角形的性质可得ABDACE，由等腰三角形的性质可得ABCACB，可求OBCOCB，可得BOCO，即可得结论． 【解答】证明：（1）

ABAC，BADCAE，ADAE，

ABDACE(SAS)；

（2）BOC是等腰三角形， 理由如下： ABDACE， ABDACE， ABAC， ABCACB，

ABCABDACBACE， OBCOCB， BOCO，

BOC是等腰三角形．

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【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．

四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 21．（8分）阅读理解，并回答问题：

若x1，x2是方程ax2bxc0的两个实数根，则有ax2bxca(xx1)(xx2)．即

ax2bxcax2a(x1x2)xax1x2，于是ba(x1x2)，cax1x2．由此可得一元二次方bc程的根与系数关系：x1x2，x1x2．这就是我们众所周知的韦达定理．

aa（1）已知m，n是方程x2x1000的两个实数根，不解方程求m2n2的值； （2）若x1，x2，x3，是关于x的方程x(x2)2t的三个实数根，且x1x2x3； ①x1x2x2x3x3x1的值；②求x3x1的最大值．

【分析】（1）由根与系数的关系先得出mn1，mn100，再利用完全平方公式的变形可得答案；

（2）①由题意得：x(x2)2t(xx1)(xx2)(xx3)，将等式两边分别整理，再比较对应项的系数可得答案；

②先由①得出的结论求得x1x34x2，x3x14(x1x3)x2，x3x1t，然后由x2(x3x1)2(x3x1)24x3x1及配方法得出(x3x1)2的最大值，再开平方，求其算术平方根即可．

【解答】解：（1）m，n是方程x2x1000的两个实数根 mn1，mn100

m2n2(mn)22mn 122(100) 201；

（2）①由题意得：x(x2)2t(xx1)(xx2)(xx3)

x34x24xtx3(x1x2x3)x2(x1x2x2x3x3x1)xx1x2x3 x1x2x34，x1x2x2x3x3x14，x1x2x3t

第17页（共25页）

x1x2x2x3x3x1的值为4；

②

x1x2x34

x1x34x2 x1x2x2x3x3x14 x3x14(x1x3)x2 x1x2x3t

x3x1t x2(x3x1)2(x3x1)24x3x1

(x3x1)2(4x2)24[4(x1x3)x2]

3x228x2

41616 3(x2)2333当x2134时，x3x1的最大值为：． 333x3x1的最大值为43． 3【点评】本题考查了根与系数的关系在整式求值中的应用，明确根与系数的关系并熟练运用完全平方公式及配方法是解题的关键．

22．（8分）如图，在O中，点C为AB的中点，ACB120，OC的延长线与AD交于点D，且DB． （1）求证：AD与O相切； （2）若CE4，求弦AB的长．

【分析】（1）连接OA，由CACB，得CACB，根据题意可得出O60，从而得出OAD90，则AD与O相切；

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（2）由题意得OCAB，RtBCE中，由三角函数得BE43，即可得出AB的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OA， CACB，

CACB，

又ACB120， B30， O2B60， DB30，

OAD180(OD)90，

AD与O相切；

（2）O60，OAOC， OAC是等边三角形， ACO60， ACB120，

ACB2ACO，ACBC， OCAB，AB2BE， CE4，B30， BC2CE8，

BEBC2CE2824243， AB2BE83，

弦AB的长为83．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．

23．（8分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经

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了解，用7200元购买A种健身器材比用5400B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，元购买B种健身器材多10件．

（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？

（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？

【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50m)套，根据总价单价数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，

根据题意，可得：解得：x360，

经检验x360是原方程的根， 1.5360540（元)，

7200540010， x1.5x因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；

（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50m)套， 根据题意，可得：360m540(50m)21000， 1解得：m33，

3因此，A种型号健身器材至少购买34套．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）

24．（10分）在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2)，OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴

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k上，得到ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y(x0)的图象经过点F，交ABx于点G．

（1）求k的值和点G的坐标；

（2）连接FG，则图中是否存在与BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；

（3）在线段OA上存在这样的点P，使得PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）证明COF∽AOB，则

CFOC，求得：点F的坐标为(1,2)，即可求解； ABOA（2）COF∽BFG；AOB∽BFG；ODE∽BFG；CBO∽BFG．证OAB∽BFG:AB24AO4，即可求解． ，

BG33BF32（3）分GFPF、PFPG、GFPG三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）四边形OABC为矩形，点B的坐标为(4,2)， OCBOABABC90，OCAB2，OABC4， ODE是OAB旋转得到的，即：ODEOAB， COFAOB，COF∽AOB，



CFOCCF2，，CF1，

ABOA24点F的坐标为(1,2)，

ky(x0)的图象经过点F，

x2k，得k2， 1点G在AB上，

点G的横坐标为4，

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对于y21，当x4，得y， x212点G的坐标为(4,)；

（2）COF∽BFG；AOB∽BFG；ODE∽BFG；CBO∽BFG． 下面对OAB∽BFG进行证明： 11点G的坐标为(4,)，AG，

22BCOA4，CF1，AB2， BFBCCF3， BGABAG3． 2AB24AO4． ，

BG33BF32AOAB， BFBG

OABFBG90， OAB∽FBG．

1（3）设点P(m,0)，而点F(1,2)、点G(4,)，

2则FG299451，PF2(m1)24，PG2(m4)2， 44422945（舍去负值）； (m1)24，解得：m2415当PFPG时，同理可得：m；

8当GFPF时，即

当GFPG时，同理可得：m411；

22915综上，点P的坐标为(411，0)或(，0)或(，0)．

28【点评】本题考查的是反函数综合运用，涉及到三角形相似、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

1325．（10分）如图，抛物线yx2x2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点

22D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴

的垂线l交抛物线于点Q． （1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形

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CQMD是平行四边形；

（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令抛物线关系式中的x0或y0，分别求出y、x的值，进而求出与x轴，y轴的交点坐标；

（2）用m表示出点Q，M的纵坐标，进而表示QM的长，使CDQM，即可求出m的值； （3）分三种情况进行解答，即①MBQ90，②MQB90，③QMB90分别画出相应图形进行解答．

13【解答】解：（1）抛物线yx2x2，当x0时，y2，因此点C(0,2)，

2213当y0时，即：x2x20，解得x14，x21，因此点A(1,0)，B(4,0)，

22故：A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)；

（2）点D与点C关于x轴对称，点D(0,2)，CD4， 设直线BD的关系式为ykxb，把D(0,2)，B(4,0)代入得， b21，解得，k，b2， 24kb0直线BD的关系式为y1x2， 2113设M(m,m2)，Q(m,m2m2)，

2221311QMm2m2m2m2m4，

2222当QMCD时，四边形CQMD是平行四边形； 1m2m44，

2解得m10（舍去），m22，

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答：m2时，四边形CQMD是平行四边形；

（3）在RtBOD中，OD2，OB4，因此OB2OD， ①若MBQ90时，如图1所示， 当QBM∽BOD时，QP2PB，

13设点P的横坐标为x，则QPx2x2，PB4x，

2213于是x2x22(4x)，

22解得，x13，x24（舍去）， 当x3时，PB431， PQ2PB2，

点Q的坐标为(3,2)；

②若MQB90时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合， Q(1,0)；

③由于点M在直线BD上，因此QMB90，这种情况不存在QBM∽BOD． 综上所述，点P在线段AB上运动过程中，存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似， 点Q(3,2)或(1,0)．

【点评】考查二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，用点的

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坐标表示线段的长是解决问题的关键，分类讨论、数形结合能够更好的解决问题．

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