设3y^2=x(x+1)(x^2-x+1)成立，表明x，x+1与x^2-x+1互质，且x+1与x^2-x+1也互质。若(x+1,x^2-x+1)=3，则x=3k-1，k≥1，y=3s，由此可得3s^2=(3k-1)k(3k^2-3k+1)。简化后，得到k=3t，进而s^2=(9t-1)t(27t^2-9t+1)。对比得9t-1=a^2，t=b^2，从而产生矛盾，故此情况无解。
若(x+1,x^2-x+1)=(x,3)=(x+1,3)=1，则x=a^2，x+1=b^2，得出x=0，y=0。
若(x+1,x^2-x+1)=1，且3|x(x+1)，则有x^2-x+1=a^2。通过变换得到(2x-1)^2+3=(2a)^2。解得x=0,1，但x=1非方程解。
因此，不定方程3y^2=x^4+x的非负整数解仅有一组，即x=0，y=0。
