高中数学易错题

12中

12数

12学

1212易错

12题

数学概念的理解不透

必修一（1）若不等式ax2+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（ ） A.a≤-或a≥ B.a＜ C.-≤a≤ D.a≥

【错解】选A.由题意，方程ax2+x+a=0的根的判别式014a20 a≤-或a≥，所以选A.

【正确解析】D .不等式ax2+x+a＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a0；要不等式ax2+x+a＜0的解集为 Φ，则需二次函数

014a201y=ax+x+a的开口向上且与x轴无交点，所以a>0且a.

2a021212必修一（2）判断函数f(x)=(x－1)

1x的奇偶性为____________________ 1x1x(1x)(x1)2【错解】偶函数.f(x)=(x1)(1x)(1x)1x2，所以

1x1xf(x)1(x)21x2f(x)，所以f（x）为偶函数.

【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：

(1x)(1x)01x01x1，1x1x0定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.

1) 必修二（4）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)l1l2，l2l3l1//l3 （B）l1l2，l//l3l1l3

(C)l1//l2//l3 l1，l2，l3共面 （D）l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A正确； 错解二：选C.平行就共面；

【正确解答】选B.命题A中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C中这三

条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面. 必修五（5）x=ab是a、x、b成等比数列的( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab时，a、x、b成等比数列成立；当a、x、b成等比数列时，x=ab成立 .

【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab成立，但a、x、b不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比数列，则x2abxab，所以x=ab不一定成立，必要性不成立.所以选D.

排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:

（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=8.

【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率P8,上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式Pn自然就是错误的.

公式理解与记忆不准

（7）若x0,y0,xy1，则14的最小值为___________.

xym31【错解】

41424xyxy18，错解原因是忽略等号成立条件. xy2()2【正解】

14xy=xy4(xy)5y4x9

xyxy（8）函数y=sin4x+cos4x－的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.

【错解】化简y=sin4x+cos4x－=cos4x，所以相位为4x，初相为0，周期为，增区间为….

3114442k1k期为，单调递增区间为[,](kZ).

4223414342【正确解析】y=sin4x+cos4x－=cos4xsin(4x).相位为4x，初相为，周

222审题不严 （1）读题不清

必修五（9）已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)()x1，则f(x)的反函数的图像大致是

【错解】选B.因为y()x在x0内递减，且f(x)()x1过点（0，2），所以选B.

【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当x0,0()x1,1y2，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B、C；又根据原函数在x0时递减，所以选A. 排列组合

（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .

【错解】一箱磁带有一盒次品的概率0.01(10.01)24，一箱磁带中无次品的概率

(10.01)25，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是0.01(10.01)24+(10.01)25.

1212121210.01(10.01)24，一箱磁带中无次品的【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率C250(10.01)概率C252，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是

10C250.01(10.01)24+C25(10.01)25.

（2）忽视隐含条件

必修一（11）设、是方程x22kxk60的两个实根，则(1)2(1)2的最小值是（ ）

【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k6,

349(1)2(1)2221221()222()24(k)2.选

44A.

【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k6,

3494(k)2. 原方程有两个实根、，∴4k24(k6)0 

44k2或k3.当k3时，(1)2(1)2的最小值是8；

当k2时，(1)2(1)2的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围.

4

【错解】由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+

8328 ， 3y2

828282222

∴当x=－ 时，x+y有最大值 ，即x+y的取值范围是(－∞, ].

333【正确解析】由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+

8328 3由于(x+2)2+ =1  (x+2)2=1－ ≤1  －3≤x≤－1，

44

28

从而当x=－1时x+y有最小值1.∴ x+y的取值范围是[1, ].（此题也可以

3

2

2

2

2

y2y2

利用三角函数和的平方等于一进行求解）

必修一（13） 方程log2(9x15)log2(3x12)20的解集为___________________- 【错解】log2(9x15)log2(3x12)20log2(9x15)log2(3x12)log240

3x110或3x130所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.

【正解】log2(9x15)log2(3x12)20log2(9x15)log2(3x12)log240

9x154(3x12)log2(9x15)log24(3x12)3x1203x130x2所以解集为{2}.

9x150字母意义含混不清

x2y25（14）若双曲线221的离心率为，则两条渐近线的方程为（ ）

ab4A.xyxyxyxy0 B.0 C.0 D.0 9161693443【错解】选D.

c5c225a2b2b2b29b33xye21yx0，选D. a4a16a2a2a216a4443x2y2y2x2【正确解析】221221，与标准方程中字母a,b互换了.选C.

abba4.运算错误

（1）数字与代数式运算出错

若a(5,7),b(1,2)，且（ab）b，则实数的值为____________.

【错解】

ab(5,72)，则（

ab）

b(ab)b052(72)03.

【正确解析】

ab(5,72)，（

ab）

b(ab)b052(72)019 5必修二18. 已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过二直线l1：3x－y－1=0和

l2：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________

【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到它的距离相等建立方程得x+2y-5=0.

【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线l1：3x－y－1=0和l2：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），由点到直线的距离公式得：

|2k1|k21|4k|11k,k，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.

62k21|2k1|k21|4k|k21k1，所以所求直线为2（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错

必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OPOQ的值为 .

【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x

)的方程(1m2)x26x50，令P(x1,y1),Q(xx1x22,y2，则

265，则,xx121m21m25m2y1y2mx，由于向量OP与向量OQ共线且方向相同，即它们的夹角为0，1x21m255m25. 所以OPOQOPOQx1x2y1y2221m1m【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则OPOQOT232225.

（3）忽视数算的精确性，凭经验猜想得结果而出错 曲线x－

2

y21的右焦点作直线交双曲线于2A、B两点，且AB4，则这样的直线

有___________条.

【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称），所以共4条.

2b2224，所以过右焦点【正解】过右焦点且与X轴垂直的弦AB（即通径）为a1的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨

（1）数学公式或结论的条件不充分

24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x)(y)的最小值为 . 【错解一】因为对a>0,恒有a2,从而z=(x)(y)4,所以z的最小值是4.

2x2y22xy22【错解二】z(xy)22xy22(21)，所以z的最小值是

xyxyxy2(21).

1x1y1a1x1y1(xy)22xy2111yxxy2，【正解】z=(x)(y)=xy=xy令t=xy, 则

xyxyxyxyxyxy0txy(xy212121)，由f(t)t在0,上单调递减,故当t=时 f(t)t有最24t4t4小值

33133,所以当xy时z有最小值. 424（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况

必修一(1)不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________

解析：（1）【错解】[,).因为|x+1|0恒成立，所以原不等式转化为2x-10，所以x[,)

【正确解析】[1,){1}.原不等式等价于|x+1|=0或2x-10，所以解集为

212121x[,){1}.

2必修一(2)函数y1x1x的定义域为 .

(2) 【错解】1x0(1x)(1x)0x1或x1.

1x【正解】1x01x(1x)(1x)0(1x)(x1)01x1

1x0x1（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列an的前n项和Sn2n1，求an.

【错解】 anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1. 【正确解析】当n1时，a1S13，n2时，

anSnSn1(21)(2nn11)22nn12n13.所以ann12(n1)(n2)12.

选修实数a为何值时，圆x2y22axa210与抛物线y2x有两个公共点. 【错解】 将圆x2y22axa210与抛物线 y2x联立，消去y， 得 x2(2a)xa210(x0). ①

0171因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 解之得a. 2a0 ，

822a10.1212【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；

0或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得2解之，得1a1.

a10.因此，当a点.

171或1a1时，圆x2y22axa210与抛物线y2x有两个公共82(1)设等比数列an的全n项和为Sn.若S3S62S9，求数列的公比q.

a1(1q3)a1(1q6)a1(1q9)2【错解】 S3S62S9,， 1q1q1q由q0得方程2qq10.(2q1)(q1)0,q6333342或q1.

【正确解析】若q1，则有S33a1,S66a1,S99a1.但a10，即得S3S62S9,与题设矛盾，故q1.

a1(1q3)a1(1q6)a1(1q9)2）＝0,即又依题意 S3S62S9   q3(2q6q311q1q1q(2q1)(q1)0,因为q1，所以q10,所以2q10.解得 q333334. 2空间识图不准

必修二直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与l成450，AB,AC，则∠BAC= . 【错解】如右图.由最小角定理，

cosBACcos1cos2221BAC. 2223【正确解析】或2.如下图.当CAF时，由最小角定理，

336cosBACcos1cos2221当BAC；

2223AC在另一边DA位置

时，BAC2.

3